Question

Биссектриса угла В треугольника АВС делит медиану,проведённую из вершины С, в отношении 7:2, считая от вершины С. В каком отношении, считая от вершины А, эта биссектриса делит медиану, проведённую из вершины А?

Answer 1

обозначим медианы сд и ар точка пересечения медианы св с биссектрисой К, а медианы ар-точка м. Тогда по условию ДК/КС=2/7.  По свойству биссектрис в треугольнике ВДС  ВД/ВС=ДК/КС=2/7. Или (1/2*АВ)/ВС=2/7. Отсюда АВ/ВС=4/7. Аналогично в треугольнике АВР  АВ/ВР=АМ/МР. Но АВ/ВР=АВ/(1/2*ВС)=8/7.  Следовательно искомое отношение АМ/МР=8/7.

Answer 2

Пусть точка пересечения биссектрисы угла В и медианы, проведенной из вершины С, обозначена как точка М, а точка пересечения биссектрисы угла В и медианы, проведенной из вершины А, обозначена как точка N.

Так как точка М делит медиану из вершины С в отношении 7:2, то можно записать:

SM/MC = 7/2

Так как медиана из вершины С делит сторону АВ пополам, то можно записать:

SM = MC = 1/2 AB

Следовательно,

1/2 AB / MC = 7/2

MC = 1/9 AB

Аналогично, можно показать, что биссектриса угла В делит медиану, проведенную из вершины А, в отношении 7:9.

Итак, отношение, в котором биссектриса угла В делит медиану, проведенную из вершины А, равно 7:9, считая от вершины А.