Question

Господарство висадило 200 саджанців фруктових дерев. Для кожного саджанця ймовірність прижитися береться рівною 0,6. Визначити ймовірність того, що приживеться рівно 115 саджанців.

Answer 1

Ответ:

ймовірність того, що приживеться рівно 115 саджанців дорівнює приблизно 0,04 (≈0,04)

Пошаговое объяснение:

Будем применять формулу Бернулли.

n = 200 - высажено деревьев

p = 0,6  - вероятность прижиться каждого саженца

q = (1 - p) = 0,4

k = 155  - прижилось саженцев.

Формула

$\displaystyle P_n(k) =C_n^k*p^k*(1-p)^{n-1}$

$\displaystyle P_{200}(115) = C_{200}^{115}*0,6^{115}*0,4^{85}\approx 0.04$

это вычислено при помощи калькулятора.

Но мы должны произвести вычисления самостоятельно.

При таких громоздких вычислениях, чтобы избежать неимоверных подсчетов на калькуляторе,  применяют локальную теорему Муавра – Лапласа по которой

$\displaystyle P_n(m) =\frac{1}{\sqrt{npq} } *\varphi(x),\qquad x=\frac{m-np}{\sqrt{npq} }$

$\varphi(x)$ - это функция Лапласа, ее значение определяется по таблицам.

Вычислим х

$\displaystyle x=\frac{m-np}{\sqrt{npq} }=\frac{115-200*0,6}{\sqrt{200*0,6*0,4} } =\frac{115-120}{\sqrt{48} } \approx-\frac{5}{6,9282} \approx -0.72$

Функция $\varphi(x)$ четная, поэтому в таблице ищем значение

$\varphi(0,72)=0,2642$

Теперь можно посчитать и приближенную вероятность

$\displaystyle P_{200}(115)\approx\frac{1}{6.9282} *0.2642\approx0,0382\approx0.04$

или ≈ 4%.

Что и требовалось найти.

Answer 2

Щоб визначити ймовірність того, що приживеться рівно 115 саджанців, ми можемо використати біноміальний розподіл. Біноміальний розподіл використовується для моделювання ситуацій, де є два можливих результати (у нашому випадку, саджанець може прижитися або не прижитися) імовірність кожного з яких залишається постійною.

Ймовірність того, що приживеться кожен саджанець дорівнює 0,6, а ймовірність того, що не приживеться - 0,4. Ми хочемо визначити ймовірність того, що саме 115 саджанців приживуться.

Для цього можна використати формулу біноміального розподілу:

P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

де: P(X=k) - ймовірність того, що саме k саджанців приживуться C(n,k) - кількість комбінацій, які можуть призвести до k успішних результатів з n спроб p - ймовірність успіху (прижиття саджанця) n - загальна кількість спроб (кількість саджанців)

В нашому випадку, n = 200, k = 115 та p = 0,6. Підставимо ці значення в формулу:

P(X=115) = C(200,115) * 0,6^115 * (1-0,6)^(200-115)

Використовуючи калькулятор або математичний софт, ми можемо обчислити це значення. Отримана ймовірність буде відповіддю на ваше запитання.

Розрахунок:

P(X=115) = C(200,115) * 0,6^115 * (1-0,6)^(200-115)

Зауваження: Для обчислення комбінацій можна використовувати формулу:

C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)

де "!" позначає факторіал, тобто добуток всіх натуральних чисел від 1 до даного числа.

Звертаю вашу увагу, що відповідь на ваше запитання буде числом, яке відображає ймовірність.