Question

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-x, y=2xОТВЕТ НУЖЕН РАЗВЁРНУТЫЙ

Answer 1

Ответ:

Нужно найти площадь закрашенной части.

Найдем точки пересечения, для этого приравняем функции:

${x}^{2} - x = 2x \\ {x}^{2} - x - 2x = 0 \\ {x}^{2} - 3x = 0 \\ x(x - 3) = 0 \\ x_{1} = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x - 3 = 0 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x_{2} = 3$

Эти точки пересечения будут нашими отрезками в интегрировании.

В графике в закрашенной части сверху прямая y=2x, а снизу парабола y=x²-x, поэтому в интегрировании отнимем x²-x от 2x.

$\int_{0}^{3} 2x - ( {x}^{2} - x)dx = \int_{0}^{3} 2x - {x}^{2} + xdx = \\ \int_{0}^{3} - {x}^{2} + 3xdx =( - \frac{ {x}^{3} }{3} + 3 \times \frac{ {x}^{2} }{2} )| _{0}^{3} = \\ - \frac{ {3}^{3} }{3} + \frac{3 \times {3}^{2} }{2} - ( - \frac{ {0}^{3} }{3} + \frac{3 \times {0}^{2} }{2} ) = \\ - \frac{27}{3} + \frac{27}{2} - (0 + 0) = - 9 + 13.5 = 4.5$

Ответ: 4,5 квадратных единиц.

Запишу формулу интеграла, которой мы пользовались:

$\int a {x}^{n} dx = a \times \frac{ {x}^{n + 1} }{n + 1} + c$

Answer 2

Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - x и y = 2x, мы можем использовать метод интегрирования.

Сначала найдем точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем уравнения и решим полученное квадратное уравнение:

x^2 - x = 2x

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 - 3x = 0

Факторизуем:

x(x - 3) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 3.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл. Площадь фигуры будет равна разности интегралов функций y = x^2 - x и y = 2x на интервале [0, 3].

Интеграл для функции y = x^2 - x:

∫(x^2 - x) dx = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 + C

Интеграл для функции y = 2x:

∫2x dx = x^2 + C

Теперь вычислим разность этих интегралов на интервале [0, 3]:

((1/3)(3)^3 - (1/2)(3)^2) - (0^2) - (0) - ((1/3)(0)^3 - (1/2)(0)^2) - (0^2) = (1/3)(27) - (1/2)(9) = 9 - 4.5 = 4.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - x и y = 2x, равна 4.5.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - x и y = 2x, равна 4.5.