Question

Найти полный дифференциал функции двух переменных z=sin^2(3x+2y)

Answer 1

z = sin(3x + 2y)^2

dz = (dz/dx)dx + (dz/dy)dy = (*)

(dz/dx)dx = 6 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y)

(dz/dy)dy = 4 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y)

(*) = 6 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y) + 4 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y)

Ответ: 6 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y) + 4 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y)

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала функции двух переменных z = sin^2(3x + 2y), мы должны взять частные производные функции по каждой переменной и умножить их на соответствующие приращения переменных. Полный дифференциал обозначается как dz.

Получим частные производные функции z по переменным x и y:

∂z/∂x = 2 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y) * 3 ∂z/∂y = 2 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y) * 2

Теперь, зная частные производные, можем записать полный дифференциал:

dz = (∂z/∂x) * dx + (∂z/∂y) * dy

где dx и dy - приращения переменных x и y соответственно.

Таким образом, полный дифференциал функции z = sin^2(3x + 2y) будет выглядеть следующим образом:

dz = 2 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y) * 3 * dx + 2 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y) * 2 * dy

или, после упрощения:

dz = 6 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y) * dx + 4 * sin(3x + 2y) * cos(3x + 2y) * dy