Question

Дано точки А(0;2;0) В(1;0;0) С(2;0;2) Д(1;2;2). ЗНАЙДІТЬ ПЛОЩУ ЧОТИРИКУТНИКА АВСД!!!!!!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

A(0; 2; 0), B(1; 0; 0), C(2; 0; 2), D(1; 2; 2)

Найдём площадь треугольников ABC и BCD.

1) Площадь треугольника ABC: S=1/2 ·|AB·AC|

Обозначение векторов найдёшь в учебнике.

Координаты вектора AB(1-0; 0-2; 0-0) ⇒ вектор AB(1; -2; 0).

Координаты вектора AC(2-0; 0-2; 2-0) ⇒ вектор AC(2; -2; 2).

Векторное произведение векторов:

            | i     j     k |

AB·AC=| 1   -2    0 |=i(-2·2-0·(-2))-j(1·2-0·2)+k(1·(-2)-(-2)·2)=

            | 2  -2    2 |

=i(-4)-j(2)+k(2)={-4; -2; 2}

Модуль вектора:

√((-4)²+(-2)²+2²)=√(16+4+4)=√24=2√6

Площадь треугольника ABC:

S₁=1/2 ·2√6=√6

2) Площадь треугольника BCD: S=1/2 ·|BC·BD|

Координаты вектора BC(2-1; 0-0; 2-0) ⇒ вектор BC(1; 0; 2).

Координаты вектора BD(1-1; 2-0; 2-0) ⇒ вектор BD(0; 2; 2)

Векторное произведение векторов:

            | i     j     k |

BC·BD=| 1    0    2 |=i(0·2-2·2)-j(1·2-2·0)+k(1·2-0·0)=i(-4)-j(2)+k(2)=

            | 0   2    2 |

={-4; -2; 2}

Модуль вектора:

√((-4)²+(-2)²+2²)=2√6

Площадь треугольника BCD:

S₂=1/2 ·2√6=√6

Площадь четырёхугольника ABCD:

S=S₁+S₂=√6 +√6=2√6≈4,9

Answer 2

Для розрахунку площі чотирикутника АВСД, ми можемо використовувати формулу площі паралелограма, оскільки чотирикутник АВСД є паралелограмом. Площа паралелограма визначається як добуток довжини однієї сторони на висоту, опущену на цю сторону.

Для знаходження векторів сторін чотирикутника, ми можемо використати координати точок.

Вектор AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 2, 0) = (1, -2, 0) Вектор AC = C - A = (2, 0, 2) - (0, 2, 0) = (2, -2, 2) Вектор AD = D - A = (1, 2, 2) - (0, 2, 0) = (1, 0, 2)

Тепер, ми можемо обчислити висоту паралелограма, яка є перпендикулярною до однієї зі сторін. Ми використовуємо вектор AD як сторону паралелограма і проекцію вектора AB на цей вектор як висоту.

Висота H = proj_AB(AD) = (AD · AB) / ||AB||

Де · позначає скалярний добуток, а ||AB|| - норму вектора AB.

AD · AB = (1, 0, 2) · (1, -2, 0) = 1 + 0 + 0 = 1 ||AB|| = sqrt(1^2 + (-2)^2 + 0^2) = sqrt(5)

Таким чином, висота H = 1 / sqrt(5).

Тепер, можемо обчислити площу паралелограма АВСД:

Площа = ||AB|| * H = sqrt(5) * (1 / sqrt(5)) = 1

Отже, площа чотирикутника АВСД дорівнює 1.