Question

Вичисліть інтеграл від n/4 до n/2 (2/sin^2x dx)​

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Ответ:

$\displaystyle \int\limits^{\pi /2}_{\pi /4} {\frac{2}{sin^2(x)} } \, dx =2$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{\pi /2}_{\pi /4} {\frac{2}{sin^2(x)} } \, dx =2 \int\limits^{\pi /2}_{\pi /4} {\frac{1}{sin^2(x)} } \, dx=2*(-ctg(x))|^{\pi /2}_{\pi /4} =-2*(ctg(\frac{\pi }{2})-ctg(\frac{\pi }{4}) )=-2*(0-1)=2$

Answer 3

Для вирішення цього інтегралу скористаємося методом заміни змінної.

Почнемо зі зміни змінної: покладемо $u = \tan(x/2)$. Тоді $\sin(x) = \frac{2u}{1+u^2}$, а $dx = \frac{2}{1+u^2}du$.

Перетворимо межі інтегрування: При $x = \frac{n}{4}$, відповідне значення $u$ буде $u_1 = \tan\left(\frac{n}{8}\right)$. При $x = \frac{n}{2}$, відповідне значення $u$ буде $u_2 = \tan\left(\frac{n}{4}\right)$.

Після заміни змінної і перетворення меж інтегрування, отримаємо новий інтеграл: $\int_{u_1}^{u_2} \frac{2}{\sin^2(x)} dx = \int_{u_1}^{u_2} \frac{2}{\left(\frac{2u}{1+u^2}\right)^2} \frac{2}{1+u^2} du = 4 \int_{u_1}^{u_2} \frac{1+u^2}{u^2} du$

Розкриємо дужки в чисельнику та спростимо вираз: $4 \int_{u_1}^{u_2} \left( \frac{1}{u^2} + 1 \right) du = 4 \left[ -\frac{1}{u} + u \right]_{u_1}^{u_2}$ $= 4 \left( -\frac{1}{u_2} + u_2 - \left(-\frac{1}{u_1} + u_1\right) \right)$ $= 4 \left( -\frac{1}{\tan\left(\frac{n}{4}\right)} + \tan\left(\frac{n}{4}\right) - \left(-\frac{1}{\tan\left(\frac{n}{8}\right)} + \tan\left(\frac{n}{8}\right)\right) \right)$

Отже, інтеграл від $\frac{n}{4}$ до $\frac{n}{2}$ від функції $\frac{2}{\sin^2(x)}$ рівний $4 \left( -\frac{1}{\tan\left(\frac{n}{4}\right)} + \tan\left(\frac{n}{4}\right) - \left(-\frac{1}{\tan\left(\frac{n}{8}\right)} + \tan\left(\frac{n}{8}\right)\right) \right)$