Question

Даю 20 баллов! В треугольнике ABC,AB=BC,угол B=120,АС=6корней из двух,найдитесь длину биссектрисы опущенной из угла А

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Дан Δ АВС ,  АВ =ВС , ∠В=120°, АС = 6√2 ед. Надо найти длину биссектрисы , опущенной из угла А.

Так как АВ =ВС , то ΔАВС - равнобедренный. Проведем к основанию АС высоту ВК, она является медианой и биссектрисой. Тогда АК=КС = 6√2: 2 = 3√2 ед.

Рассмотрим ΔАКВ - прямоугольный , ∠АВК =120°:2=60°

( ВК - биссектриса).

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$sin 60^{0} =\dfrac{AK}{AB} ;\\\\\dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{3\sqrt{2} }{AB} ;\\\\AB= \dfrac{3\sqrt{2}\cdot 2 }{\sqrt{3} } =\dfrac{6\sqrt{2} }{\sqrt{3} } =\dfrac{6\sqrt{2}\cdot \sqrt{3} }{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} } =\dfrac{6\sqrt{6} }{3} =2\sqrt{6}$

В равнобедренном ΔАВС углы при основании равны. Тогда

∠А=∠С =( 180°-120°):2=60°: 2 =30°.

Если АМ - биссектриса, то она делит ∠А пополам.

Значит,

∠САМ = ∠МАВ = 30°: 2 =15°.

Рассмотрим ΔАВМ. Сумма углов треугольника равна 180°.

∠АМВ = 180°-(120°+15°)= 180°-135°=45°

По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Применим теорему синусов к ΔАВМ

$\dfrac{AM}{sin 120^{0} } =\dfrac{AB }{sin 45^{0} } ;\\\\AM= \dfrac{AB\cdot sin 120^{0} }{sin 45^{0} } ;\\\\AM= \dfrac{2\sqrt{6} \cdot\dfrac{\sqrt{3} }{2} }{\dfrac{\sqrt{2} }{2} } =\dfrac{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} }{\sqrt{2} } =2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} =2\cdot3=6$

Значит, длина биссектрисы АМ равна 6 ед.

#SPJ1

Answer 2

Спасибо за баллы! Чтобы найти длину биссектрисы, опущенной из угла А треугольника ABC, мы можем использовать теорему синусов и теорему косинусов.

У нас дано, что AB = BC и угол B = 120 градусов. Пусть AB = BC = a (длина стороны треугольника) и AC = 6√2.

Используя закон синусов, мы можем записать:

sin(A) / a = sin(B) / AC

Так как угол B = 120 градусов, sin(B) = sin(120) = sin(60) = √3 / 2. Подставляя это значение, получаем:

sin(A) / a = (√3 / 2) / (6√2)

Сокращаем корень из двух и домножаем обе части на a:

sin(A) = (√3 / 2) * (a / (6 * √2))

sin(A) = (√3 * a) / (12 * √2)

sin(A) = (√3 * a) / (4√6)

Теперь, используя теорему косинусов, мы можем записать:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(B)

(6√2)^2 = a^2 + a^2 - 2 * a * a * cos(120)

72 = 2a^2 + 2a^2 + 2a^2

72 = 6a^2

a^2 = 12

a = √12 = 2√3

Теперь, подставляя найденное значение a в наше предыдущее уравнение для sin(A), получаем:

sin(A) = (√3 * 2√3) / (4√6)

sin(A) = (6√3) / (4√6) = (3√3) / (2√6)

sin(A) = (√3 / 2) * (√3 / √6) = (√3 / 2) * (√6 / 6) = √18 / 12 = √2 / 4

Теперь мы можем использовать определение синуса для угла А:

sin(A) = противолежащая сторона / гипотенуза

Так как биссектриса опущена из угла А, противолежащая сторона - это длина биссектрисы, а гипотенуза - длина стороны треугольника AB = BC = a. Подставляем значения:

√2 / 4 = длина биссектрисы / 2√3

Перемножаем обе части уравнения на 2√3 и получаем:

длина биссектрисы = (2√3 * √2) / 4 = (2 * 3 * 2