Question

Знайти усі значення а, при яких корінь рівняння ax=5+2x є цілим числом. Допоможіть будь-ласка.​

Answer 1

Ответ:

-3; -0,5; 1; 1,5; 2,5; 3; 4,5; 7

Пошаговое объяснение:

$ax=5+2x|\; \; x\in Z\\ax-2x=5\\x(a-2)=5\\x=\frac{5}{a-2}\\\\a-2\neq 0\\a\neq 2$

Результат деления числа 5 на  ±0,5; ±1; ±2,5; ±5 является целым числом. Находим а:

а-2=0,5  => a=2,5

a-2=-0,5  => a=1,5

a-2=1  => a=3

a-2=-1 => a=1

a-2=2,5 => a=4,5

a-2=-2,5 => a=-0,5

a-2=5 => a=7

a-2=-5 => a=-3

a = {-3; -0,5; 1; 1,5; 2,5; 3; 4,5; 7}    

Answer 2

Щоб корінь рівняння ax = 5 + 2x був цілим числом, потрібно, щоб вираз 5 + 2x був кратним кореню а. Отже, ми можемо записати рівняння:

5 + 2x = an,

де n - ціле число.

Розв'яжемо це рівняння відносно x:

2x = an - 5, x = (an - 5) / 2.

Щоб x було цілим числом, (an - 5) повинно бути парним числом.

Тепер розглянемо значення а. Якщо а = 0, то рівняння стає 0 = 5, що є неможливим. Тому враховуємо випадок а ≠ 0.

Якщо а > 0, то ми можемо записати an - 5 = 2k, де k - ціле число. Підставимо значення x у рівняння:

x = (an - 5) / 2 = (2k + 5) / 2 = k + 2.5.

Отже, якщо а > 0, корінь рівняння не може бути цілим числом.

Якщо а < 0, то аналогічно записуємо an - 5 = 2k:

x = (an - 5) / 2 = (2k - 5) / 2 = k - 2.5.

Якщо а < 0, то корінь рівняння може бути цілим числом, коли k - 2.5 є цілим числом.

Отже, для значень а, при яких корінь рівняння ax = 5 + 2x є цілим числом, потрібно вибрати а < 0 і знайти всі значення а, для яких k - 2.5 є цілим числом.