Question

Точки A,B,C і D ділять коло на чотири дуги, довжини яких відносяться як 1:2:3:4. Якою може бути сума двох кутів чотирикутника ABCD? З ПОЯСНЕННЯМ!!! ПЖ СРОЧНО!!!!! А) 108 градусів Б) 180 градусів В) 208 градусів Г) 280 градусів

Answer 1

Ответ:

Б) 180 градусов

Пошаговое объяснение:

Длина дуги прямо пропорциональна углу, которым она образована. Наши пропорции 1, 2, 3, 4. Значит всего окружность разбили на 1+2+3+4 = 10 частей. То есть угол дуги 1 будет 36, 2 -> 72 и т.д..  Если мы нарисуем четырёхугольник по этим точкам, и проведём радиусы во все вершины, то получим набор равнобедренных треугольников. Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180, то величину углов, прилегающих к окружности легко посчитать, зная угол у центра.

1 часть (180-36)/2 = 72 гр

2 части (180-72)/2 = 54 гр

3 части (180-108)/2 = 36 гр

4 части (180-144)/2 = 18 гр

Каждый внутренний угол четырёхугольника будет складываться из двух таких углов.

A: 72+54 = 126 гр

B: 54+36 = 90 гр

C: 36+18 = 54 гр

D: 18+72 = 90 гр

Получаем возможные суммы:

A+B = 126 + 90 = 216

B+ C = 90 + 54 = 144

C+D = 54 + 90 = 144

D+A = 90 + 126 = 216

B+D = 90 + 90 = 180

A+C = 126 +54 = 180

Из возможных ответов, нам подходит только 180 градусов. Значит ответ именно такой.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку з'ясуємо, які дуги відповідають кожному куту чотирикутника ABCD.

Оскільки сума всіх кутів в чотирикутнику дорівнює 360 градусам, ми можемо знайти відношення між дугами.

Назвемо дуги, які відповідають кутам чотирикутника ABCD, як арку AB, BC, CD і DA.

Згідно з умовою, довжини цих дуг у відношенні 1:2:3:4. Позначимо довжину першої дуги (арки AB) як x. Тоді довжини інших дуг будуть 2x, 3x і 4x відповідно.

За властивостями кола, сума довжин усіх дуг, які випускаються з однієї точки і повертаються до цієї точки, дорівнює 360 градусам.

Отже, ми маємо рівняння: x + 2x + 3x + 4x = 360.

Сумуючи подібні доданки, отримаємо: 10x = 360.

Ділимо обидві частини на 10: x = 36.

Тепер, коли ми знаємо значення x, можемо знайти довжини всіх дуг: AB = x = 36, BC = 2x = 72, CD = 3x = 108, DA = 4x = 144.

Тепер розглянемо суму двох кутів чотирикутника ABCD.

Наприклад, якщо ми виберемо кути A та C, відповідні дуги будуть AB і CD.

Сума цих двох кутів дорівнює мірі дуги, яку вони охоплюють.

Отже, сума кутів A та C дорівнює: AB + CD = 36 + 108 = 144 градуси.

Оскільки сума двох кутів чотирикутника ABCD дорівнює сумі мір дуги, яку вони охоплюють, сума двох кутів може бути 144 градуси (відповідь D).