Question

Дам 40 баллов!!!!!!!!!Найдите наименьшее нечетное простое число p такое, что число p в 3 степени + 7 p во 2 является точным квадратом.

Answer 1

$p^3+7p^2=n^2$
$p^2(7+p)=n^2$
Значит, надо чтобы 7+p было полным квадратом. Т.к. p+7 - четное и полный квадрат, то p+7=4k, т.е. p=4k-7=4(k-2)+1=4m+1. Перебираем все нечетные простые вида 4m+1 большие 7: p=13,17,29,... И видим, что
13+7=20 - не квадрат
17+7=24 - не квадрат
29+7=36 - полный квадрат. Бинго!
Ответ: p=29.

Answer 2

Спасибо за вознаграждение! Чтобы найти наименьшее нечетное простое число p, для которого число p в третьей степени плюс 7p в квадрате является точным квадратом, мы можем использовать простейший подход перебора чисел.

Пусть p будет нечетным простым числом. Тогда мы можем записать данное условие в виде уравнения:

p^3 + 7p^2 = x^2,

где x - некоторое целое число.

Разделим оба выражения на p^2:

p + 7 = (x/p)^2.

Заметим, что (x/p)^2 - целое число. Поэтому (x/p)^2 должно быть больше или равно 1. Так как p - простое число, оно не может делиться нацело на число, большее его собственного квадрата (так как это нарушило бы определение простого числа).

Таким образом, наименьшее возможное значение p будет равно 3. Подставим это значение обратно в исходное уравнение:

3^3 + 7*3^2 = 27 + 63 = 90.

Число 90 не является точным квадратом, поэтому мы продолжаем увеличивать значение p:

5^3 + 7*5^2 = 125 + 175 = 300.

Число 300 также не является точным квадратом.

Продолжая таким образом, мы получаем:

7^3 + 7*7^2 = 343 + 343 = 686.

686 - точный квадрат (26^2).

Таким образом, наименьшее нечетное простое число p, для которого число p в третьей степени плюс 7p в квадрате является точным квадратом, равно 7.