Question

Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (-1;3) и точку пересечения прямых L1 и L2, где L1: 3x-4y+1=0, а L2 - прямая с угловым коэффициентом К=1, проходящим через точку М (0;2)

Answer 1

Уравнение L2: у =х +в. Для определения в подставим координаты точки М: 2 = х*0 +в.Отсюда в = 2. Уравнение: у = х + 2 или х - у + 2 = 0.

Находим точку пересечения L1 и L2: 3x - 4y + 1 = 0.

х - у + 2 = 0    |x(-4) =  -4х + 4 у - 8 = 0

3x - 4y + 1 = 0               3x - 4y + 1 = 0

                                     -x          -7 = 0

Отсюда х = -7, у = х + 2 = -7 + 2 = -5. Точка Р (-7; -5).

Уравнение прямой, проходящей через точку М (-1;3) и точку Р(-7;-5):

(х + 1)/(-7-(-1)) = (у - 3)/(-5-3),

(х + 1)/(-6) = (у - 3)/(-8) это каноническое уравнение.

-8х - 8 = -6у + 18.

8х - 6у + 26 = 0   или 4х - 3у + 13 = 0   это общее уравнение.

у = (4/3)х + (13/3)   это с угловым коэффициентом.

Составим параметрическое уравнение прямой по координатам двух точек (точки условно приняты А и В).

Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:

x = l t + x1

y = m t + y1

где:

{l; m} - направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор AB;

(x1, y1) - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.

AB = {xb - xa; yb - ya} = {-7 - (-1); -5 - 3} = {-6; -8}

В итоге получено параметрическое уравнение прямой:

x = - 6t - 1

y = - 8t + 3.

Answer 2

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку М(-1;3) и точку пересечения прямых L1 и L2, мы должны выполнить два шага:

1. Найдем точку пересечения прямых L1 и L2.
2. Используем полученные координаты точки пересечения и точки М для составления уравнения искомой прямой.

Шаг 1: Найдем точку пересечения прямых L1 и L2.

У нас уже есть уравнение прямой L1: 3x - 4y + 1 = 0.

Уравнение прямой L2 имеет угловой коэффициент К=1 и проходит через точку М(0;2). Уравнение прямой с угловым коэффициентом К и проходящей через точку (x0, y0) имеет вид:

y - y0 = К(x - x0).

Подставим значения точки М(0;2) в уравнение L2:

y - 2 = 1(x - 0), y = x + 2.

Теперь у нас есть уравнения прямых L1 и L2:

L1: 3x - 4y + 1 = 0, L2: y = x + 2.

Для нахождения точки пересечения этих прямых решим систему уравнений:

3x - 4y + 1 = 0, y = x + 2.

Подставим второе уравнение в первое:

3x - 4(x + 2) + 1 = 0, 3x - 4x - 8 + 1 = 0, -x - 7 = 0, x = -7.

Теперь найдем y, подставив значение x в уравнение L2:

y = x + 2, y = -7 + 2, y = -5.

Таким образом, точка пересечения прямых L1 и L2 имеет координаты P(-7; -5).

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, проходящей через точку М(-1;3) и точку P(-7;-5).

Для этого воспользуемся формулой для уравнения прямой, проходящей через две известные точки (x1, y1) и (x2, y2):

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1).

Подставим координаты точек М(-1;3) и P(-7;-5):

y - 3 = (-5 - 3) / (-7 - (-1)) * (x - (-1)), y - 3 = (-8) / (-6) * (x + 1).

Упростим уравнение:

y - 3 = 4/3 * (x + 1).

Теперь, если нужно привести уравнение в стандартную форму, то продолжим упрощение:

y - 3 = 4/3 * x + 4/3, y = 4/3 * x + 4/3 + 3, y = 4/3 * x + 13/3.

Итак, уравнение искомой прямой, проходящей через точку М(-1;3) и точку пересечения прямых L1 и L2, будет:

y = 4/3 * x + 13/3.