Question

Вычислите 4(2-√3)sin²105

Answer 1

Ответ 1. Решение задания приложено

Answer 2

Ответ:

1.

Пошаговое объяснение:

1. sin²105° = sin²(90° + 15°) = cos²15°.

Воспользуемся формулой:

cos²x = (1 + cos2x)/2.

cos²15°= (1 + cos(2•15°))/2 = (1 + cos30°)/2 = (1 + √3/2)/2.

2. 4(2-√3)sin²105 = 4(2-√3)•(1 + √3/2)/2 = 2(2-√3)(1+√3/2) = (2-√3)(2+√3) =2² - (√3)² = 4 - 3 = 1.

Answer 3

Для начала, мы можем использовать тригонометрическое тождество: sin²θ + cos²θ = 1, чтобы выразить cos²θ в терминах sin²θ:

cos²θ = 1 - sin²θ

Затем, мы можем использовать формулу двойного угла для синуса:

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

Теперь, вернемся к выражению 4(2-√3)sin²105:

4(2-√3)sin²105 = 4(2-√3)(1-cos²(90-105)) // из тригонометрического тождества = 4(2-√3)(1-sin²15) // т.к. cos(90-θ) = sinθ = 4(2-√3)(1-2sin²(15/2)cos(15/2)) // т.к. sin(2θ) = 2sinθcosθ = 4(2-√3)(1-2sin²(15/2)sin(75/2)) // т.к. cos(2θ) = 1-2sin²θ = 4(2-√3)(1-2sin²(15/2)sin(105/2)) // т.к. sin(75/2) = cos(15/2) и sin(105/2) = cos(75/2)

Теперь, нам нужно вычислить значения sin(15/2) и sin(105/2). Для этого, мы можем использовать формулу половинного угла для синуса:

sin(θ/2) = ±√((1-cosθ)/2)

Мы знаем, что 15 = 30/2 и 105 = 210/2, так что мы можем использовать эту формулу для вычисления sin(15/2) и sin(105/2):

sin(15/2) = ±√((1-cos(30))/2) = ±√((1-√3/2)/2) sin(105/2) = ±√((1-cos(210))/2) = ±√((1+√3/2)/2)

Так как 105 находится во второй четверти, то sin(105/2) должен быть отрицательным. Поэтому:

sin(15/2) = -√((1-√3/2)/2) sin(105/2) = -√((1+√3/2)/2)

Теперь мы можем подставить эти значения в наше выражение:

4(2-√3)(1-2sin²(15/2)sin(105/2)) = 4(2-√3)(1-2(-√((1-√3/2)/2))^2(-√((1+√3/2)/2))) ≈ 5.316

Таким образом, 4(2-√3)sin²105 ≈ 5.316.