Question

Известно, что а²+b²+c²=21 и а+b-c=7. Найдите значение выражения ab-bc-ac

Answer 1

Рассмотрим выражение а+b-c  = 7.
Возведем обе его части в квадрат:
(a+b-c)² = 49
а²+b²+c²+2ab-2ac-2bc=49
21 +2(ab-ac-bc)=49
ab-ac-bc=(49-21):2=14
Ответ: 14.

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться методом подстановки.

Из уравнения a+b-c=7 можно выразить одну из переменных через другие: например, c=a+b-7.

Подставим это выражение для c в уравнение a²+b²+c²=21:

a²+b²+(a+b-7)²=21

Раскроем скобки:

a²+b²+a²+2ab+b²-14a-14b+49=21

2a²+2b²+2ab-14a-14b+28=0

a²+b²+ab-7a-7b+14=0

Вычислим значение выражения ab-bc-ac, используя выражение для c и полученное выше уравнение:

ab-bc-ac = ab - b(a+b-7) - a(a+b-7) = ab - ab - b² + 7b - a² - ab + 7a = 7a - b² - a² + 7b

Теперь осталось найти значения a и b. Для этого можно воспользоваться методом решения системы уравнений.

Из уравнения a+b-c=7 можно выразить c через a и b: c=a+b-7. Подставим это выражение для c в уравнение a²+b²+c²=21:

a²+b²+(a+b-7)²=21

2a²+2b²+2ab-14a-14b+28=0

a²+b²+ab-7a-7b+14=0

Теперь нужно решить эту квадратную систему уравнений. Для этого можно, например, решить одно уравнение относительно одной переменной и подставить это выражение в другое уравнение:

a+b-c=7

c=a+b-7

a+b-(a+b-7)=7

c=14-a-b

7a-7b+2ab+a²+b²=14

Заметим, что левая часть является полным квадратом, так как

(2a+b)² = 4a²+4ab+b²

Поэтому можно преобразовать уравнение к виду:

4a²+4ab+b²=49

(2a+b)²=49

2a+b=7 или 2a+b=-7

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. 2a+b=7

Тогда из уравнения a+b-c=7 следует, что c=a+b-7. Подставим это выражение для c в уравнение a²+b²+c²=21:

a²+b²+(a+b-7)²=21

2a²+2b²+2ab-14a-14b+28=0

a²+b²+ab-7a-7b+14=0

2a²+2b²+2ab-14a-14b+28=0

(2a+b-7)²=0

2