Question

Существует ли такой 2010-ти угольник, чтобы одним разрезанием по прямой линии, можно было бы получить 1005 треугольников.

Answer 1

А почему бы и нет:

Нарисуем равнобедренный треугольник и из его основания построим равнобедренный треугольник с меньшей высотой. Проведём из вершины второго треугольника прямую, параллельную основанию, и поделим отрезок этой прямой, концы которого совпадают со сторонами первого треугольника, на 3 равные части. Проведём из вершин при основании первого треугольника отрезки к точке конца первой части отрезка и к точке начала третьей части отрезка (какая точка ближе - к той и проводим), а оставшуюся часть отрезка делим на 1003 равных отрезка и строим 1003 равнобедренных треугольника с основаниями в этих отрезках. Стерев ненужное (второй равнобедренный треугольник и отрезок, который делили) получаем многоугольник с 2010-ю сторонами и 1005-ю "зубцами". Отрежем "зубцы" по недавно стёртому отрезку и получим 1005 треугольников (даже 1006), а если 1006-ой треугольник не нужен, то дорисовываем к отрезку, который делили, 1004 деление, строим по равнобедренному треугольнику на всех делениях кроме 666-ого, а боковые стороны равнобедренных треугольников, вершины которых являются концами 666-ого деления, продлеваем немного, чтобы получился какой-то треугольник, смотрящий "в обратную сторону", из-за чего при разрезании 1005 "зубцов" остаются треугольниками, а остальная часть многоугольника была шестиугольником.

Ответ: Да, существует.

Answer 2

Да, существует такой 2010-угольник.

Общая формула для количества треугольников, которые можно получить из n-угольника при разрезании по прямой линии, равна (n-2)(n-3)/2.

Подставляя n=2010, мы получаем:

(2010-2)(2010-3)/2 = 1004*1007/2 = 506028

Это означает, что из 2010-угольника можно получить 506028 треугольников, если его разрезать по любой прямой линии.

Так как требуется получить 1005 треугольников одним разрезанием, то необходимо найти такую линию, которая разделит 2010-угольник на две части, содержащие 1005 треугольников каждая.

Поиск такой линии может быть достаточно сложным, но можно заметить, что если провести линию из одного вершины 2010-угольника до вершины, противоположной ей, то она разделит его на два 1005-угольника, каждый из которых можно разрезать на 1005 треугольников простой линией, итого получится 1005+1005=2010 треугольников.

Таким образом, можно получить 1005 треугольников из 2010-угольника одним разрезанием, если провести прямую линию через две противоположные вершины.