Question

Помогите решить пожалуйста (√(cos2x))^2=√(cos(x)^2)

Answer 1

По сути тут написано вот что:
cos 2x = |cos x|
Но область определения корня:
cos 2x >= 0; 2x € [-π/2+2πn; π/2+2πn]; x € [-π/4+πn; π/4+πn]
Как известно, cos 2x = 2cox^2 x - 1
Возможны два случая:
1) 2cox^2 x - 1 = -cos x
2cox^2 x + cos x - 1 = 0
Получили квадратное уравнение относительно cos x
(cos x + 1)(2cos x - 1) = 0
cos x = -1; x1 = pi + 2pi*n
cos x = 1/2; x2 = +-pi/3 + 2pi*k не принадлежит Области опр-ния.
2) 2cox^2 x - 1 = cos x
2cox^2 x - cos x - 1 = 0
(cos x - 1)(2cos x + 1) = 0
cos x = 1; x3 = 2pi*k
cos x = -1/2; x4 = +-2pi/3 + 2pi*m не приналлежит Области опр-ния.
Мы можем объединить 1 и 3 корни.
Ответ: x = pi*n

Answer 2

Давайте начнем с левой части уравнения:

(√(cos2x))^2 = cos2x

Теперь давайте рассмотрим правую часть уравнения:

√(cos(x)^2) = |cos(x)|

Обратите внимание, что мы использовали модуль, потому что cos(x) может быть отрицательным.

Теперь у нас есть уравнение:

cos2x = |cos(x)|

Заметим, что если cos(x) отрицательный, то |cos(x)| равно -cos(x), поэтому:

cos2x = -cos(x), при cos(x) < 0

Нам нужно решить это уравнение для всех значений x. Давайте начнем с решения уравнения cos2x = |cos(x)|.

Разделим решение на два случая, в зависимости от знака cos(x):

1. Если cos(x) ≥ 0, то |cos(x)| = cos(x), и мы можем записать уравнение как:

cos2x = cos(x)

cos2x - cos(x) = 0

cos(x)(cos(x) - 1) = 0

cos(x) = 0 или cos(x) = 1

Отсюда следует, что x = kπ/2, где k - целое число, или x = 2kπ, где k - целое число.

2. Если cos(x) < 0, то |cos(x)| = -cos(x), и мы можем записать уравнение как:

cos2x + cos(x) = 0

cos(x)(cos(x) + 1) = 0

cos(x) = 0 или cos(x) = -1

Отсюда следует, что x = kπ, где k - целое число.

Теперь давайте проверим уравнение cos2x = -cos(x), при cos(x) < 0.

cos2x + cos(x) = 0

cos(x)(cos(x) + 1) = 0

cos(x) = 0 или cos(x) = -1

Если cos(x) = 0, то x = kπ/2, где k - целое число.

Если cos(x) = -1, то cos2x = 1, что невозможно, поэтому нет решений для этого случая.

Таким образом, мы получаем следующие решения уравнения:

x = kπ/2, где k - целое число, или x = kπ, где k - целое число.