Question

Найдите площадь квадрата,все вершины которого лежат на двух прямых х+у=0 и х-у=2

Answer 1

Площадь равна двум 

Answer 2

Для того чтобы найти площадь квадрата, нам нужно найти длину стороны квадрата. Можно заметить, что линии $x+y=0$ и $x-y=2$ пересекаются в точке $(1, -1)$, которая является серединой стороны квадрата, параллельной осям координат. Расстояние от этой точки до любой из вершин квадрата равно длине стороны квадрата.

Чтобы найти расстояние от точки $(1, -1)$ до вершин квадрата, можно заметить, что квадрат имеет четыре вершины, расположенных на одинаковом расстоянии от центра квадрата. Таким образом, длина стороны квадрата равна расстоянию от точки $(1, -1)$ до любой из вершин.

Найдем координаты вершин квадрата. Так как квадрат параллелен осям координат, то его вершины находятся на равных расстояниях от центра $(1,-1)$ вдоль осей $x$ и $y$. Расстояние от центра до любой вершины равно половине длины диагонали квадрата. Диагональ квадрата проходит через вершины и параллельна линии $x+y=0$.

Пусть $A$ и $B$ — вершины квадрата, лежащие на прямой $x+y=0$, и $C$ и $D$ — вершины, лежащие на прямой $x-y=2$. Тогда координаты этих вершин можно найти следующим образом:

$A = (-1, 1)$, $B = (3, -3)$, $C = (1, 3)$, $D = (-3, -1)$.

Для нахождения длины стороны квадрата нужно найти расстояние от центра квадрата $(1, -1)$ до любой из вершин. Например, расстояние от центра до вершины $A$ равно:

$\sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, длина стороны квадрата равна $2\sqrt{2}$. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны:

$S = (2\sqrt{2})^2 = 8$.

Ответ: площадь квадрата равна $8$.