Question

Даны координаты треугольника ABC: A(-7;5) , B(8;-11) , C (13;1)/ Требуется: 1)Вычислить сторону BC 2)Составить уравнение стороны BC 3)Вычислить длину высоты, проведенной из вершины A 4)Составить уравнение этой высоты

Answer 1

Даны вершины A(-7;5) , B(8;-11) , C (13;1).
1)Вычислить сторону BC:
  |BC| = √((13-8)²+(1-(-11))²) = √(25+144) = √169 = 13.

2)Составить уравнение стороны BC.
ВС: (х-8)/(13-8) = (у+11)/(1+11),
       (х-8)/5 = (у+11)/12      это каноническое уравнение,
       12х - 96 = 5у + 55,
       12х - 5у - 151 = 0        это уравнение общего вида,
        у = 2,4 х - 30,2           это уравнение с коэффициентом.

3)Вычислить длину высоты, проведенной из вершины A.
Вариант 1. Находим длины сторон.
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √481 ≈  21,931712,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √169 = 13,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √416 ≈  20,396078.
Находим площадь треугольника по формуле Герона.
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) p = (a+b+c)/2.
Полупериметр р = 27,66390.
Подставив значения, получаем S = 130.

Вариант 2. Используем формулу:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 130.

Высота   АН = 2S/ВС = (2*130)/13 = 20.

4)Составить уравнение высоты из вершины А.
Уравнение этой высоты как перпендикуляра к ВС имеет коэффициент к = -1/к(ВС) = -1/2,4 = -5/12 = -0,416667.
Уравнение АН: у = (-5/12)*х + в.
Для определения коэффициента В подставим в это уравнение координаты точки А:
5 = (-5/12)*(-7) + в.
в = 5 - (35/12) = (60 - 35)/12 = 25/12.

Уравнение АН: у = (-5/12)*х + (25/12).
                          у = -0,416667 х + 2,083333 
 или в общем виде:
                           5 Х + 12 У - 25 = 0.

Answer 2

1. Для вычисления стороны BC необходимо найти расстояние между точками B и C. Используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости, получаем:

$d_{BC} = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(13 - 8)^2 + (1 + 11)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$

Таким образом, сторона BC равна 13.

2. Уравнение прямой, содержащей сторону BC, можно составить, используя координаты точек B и C. Обозначим координаты точки D, лежащей на прямой BC и перпендикулярной стороне BC, через (x,y). Тогда уравнение прямой BC имеет вид:

$\frac{y - y_B}{x - x_B} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}$

Подставляя координаты точек B и C, получаем:

$\frac{y + 11}{x - 8} = \frac{1 + 11}{13 - 8}$

Упрощая, получаем:

$y = \frac{2}{5}x - \frac{47}{5}$

Таким образом, уравнение стороны BC имеет вид $y = \frac{2}{5}x - \frac{47}{5}$.

3. Длина высоты, проведенной из вершины A, равна расстоянию от точки A до прямой BC. Для ее вычисления необходимо найти уравнение прямой, содержащей сторону BC, и перпендикулярной ей, проходящей через точку A. Используя координаты точек B и C, уравнение прямой BC уже было найдено в предыдущем пункте.

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной стороне BC, найдем координаты точки E, являющейся проекцией точки A на прямую BC. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \frac{2}{5}x - \frac{47}{5} \ y = -\frac{5}{2}(x + 7) + 5 \end{cases}$

Решив ее, получаем:

$x_E = \frac{67}{29}$

$y_E = -\frac{91}{29}$

Таким образом, координаты точки E равны (67/29, -91/29).

Длина высоты, проведенной из вершины A, равна расстоянию между точками A и E. Используя формул