Question

Здравствуйте. Вопрос: Найти экстремумы функции f(x)=1+4x-x^2 Как решать я знаю, а вот про максимумы и минимумы забыла и запуталась. Получается ведь x1=2, а X2=-2 Так где максимумы и минимумы и как их различать?

Answer 1

Если без производных, то это парабола ветвями вниз. f(x) max в точке вершины параболы. 
f(x)=-x^2+4x+1; x верш.=-в/2а=-4/-2=2; у верш.=-4+8+1=5 - это экстремум функции.     ИЛИ
f'(x)=-2x+4; -2x+4=0; 2x=4; x=2 - точка экстремума.
f'(x)  I  -∞;2  I   2   I   2;∞
---------------------------------
f'(x)  I  +       I   0   I   -
----------------------------------
f(x)  I возр.  I max I убыв.
f(2)=-4+8+1=5 - экстремум функции; f(2) - максимальна при х=2.

Answer 2

Экстремум непосредственно связан с минимумом и максимумом. Согласно определению экстремум - точка изменения знака производной. так вот максимум это когда она меняет его с плюса на минус, а минимум когда с минуса на плюс. Важно понимать, что таких точек у функции может и не быть, если сомневаетесь нужно находить производную и решать неравенства y' > 0 и y' < 0 методом интервалов.

Answer 3

Здравствуйте! Чтобы найти экстремумы функции, вам потребуется найти точки, где производная функции равна нулю или не существует. В данном случае, функция f(x) = 1 + 4x - x^2 является параболой ветвями вниз.

Давайте найдем производную функции f(x) с помощью правила дифференцирования:

f'(x) = 4 - 2x

Чтобы найти экстремумы, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

4 - 2x = 0

2x = 4

x = 2

Таким образом, у нас есть одна точка экстремума при x = 2.

Чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, можно проанализировать знак второй производной функции f(x). Если вторая производная положительна в точке экстремума, то это будет минимум, а если она отрицательна, то максимум.

Для нашей функции f(x) вторая производная равна:

f''(x) = -2

Видим, что вторая производная отрицательна для любого значения x, что означает, что у нас есть максимум в точке x = 2.

Таким образом, функция f(x) = 1 + 4x - x^2 достигает максимума в точке x = 2.