Question

Найти общее решение дифференциального уравнения dy/(x-1)=dx/(y-3)

Answer 1

Найти общее решение дифференциального уравнения 

dy/(x-1)=dx/(y-3)

(y-3)dy=(x-1)dx

(y-3)²/2=(x-1)²/2     +c
(x-1)²-(y-3)² =C
                       

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dx}}{{dy}}$

можно использовать метод разделения переменных. Для этого перепишем уравнение в следующем виде:

$(y - 3) \, dy = (x - 1) \, dx$

Разделим обе части на $(y - 3)$:

$\frac{{dy}}{{y - 3}} = \frac{{dx}}{{x - 1}}$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{{dy}}{{y - 3}} = \int \frac{{dx}}{{x - 1}}$

Для левой части интеграла мы можем использовать замену переменной $u = y - 3$, а для правой части - замену переменной $v = x - 1$:

$\int \frac{{du}}{{u}} = \int \frac{{dv}}{{v}}$

Это дает нам:

$\ln|u| = \ln|v| + C_1$

где $C_1$ - постоянная интегрирования.

Теперь восстанавливаем исходные переменные $u$ и $v$:

$\ln|y - 3| = \ln|x - 1| + C_1$

Можем записать это как:

$\ln|y - 3| - \ln|x - 1| = C_1$

Применяя свойство логарифма, получаем:

$\ln\left|\frac{{y - 3}}{{x - 1}}\right| = C_1$

Введем новую константу $C = e^{C_1}$:

$\frac{{y - 3}}{{x - 1}} = C$

Это уравнение представляет собой общее решение исходного дифференциального уравнения.