Question

Найди число которое при делении на 3,4,5,6 даёт в остатке 1,а на 7 нацело

Answer 1

Это число - $7^4$

Так как оно каждая семёрка даст остаток 1 при делении на 6 (остатки перемножатся)

А также,

$(5+2)^4 \equiv 2^4 \equiv 1 \ \ \ \ \ \ (mod \ 5)$

$(4+3)^4 \equiv 3^4 \equiv 1 \ \ \ \ \ \ (mod \ 4)$

$(3+4)^4 \equiv 4^3 \equiv 1 \ \ \ \ \ \ (mod \ 3)$

Answer 2

Чтобы найти такое число, мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках. Эта теорема гарантирует, что для любого набора остатков и модулей существует уникальное число, которое при делении на эти модули дает соответствующие остатки.

В данном случае, мы ищем число, которое при делении на 3, 4, 5 и 6 дает в остатке 1, а при делении на 7 нацело (остаток 0). Мы можем представить это в виде системы уравнений:

x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 1 (mod 5) x ≡ 1 (mod 6) x ≡ 0 (mod 7)

Решая эту систему с помощью китайской теоремы об остатках, получим искомое число. Вычислим его:

Первый шаг: Вычислим N — произведение модулей (3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 2520).

Второй шаг: Вычислим N1, N2, N3, N4 и N5 — частные от деления N на каждый из модулей (N1 = 2520/3 = 840, N2 = 2520/4 = 630, N3 = 2520/5 = 504, N4 = 2520/6 = 420, N5 = 2520/7 = 360).

Третий шаг: Вычислим обратные значения N1, N2, N3, N4 и N5 по модулям 3, 4, 5, 6 и 7 соответственно (обратные значения равны 2, 3, 4, 1 и 1).

Четвёртый шаг: Вычислим решение, складывая произведения остатков, частных от деления и обратных значений: x = (1 * 840 * 2 + 1 * 630 * 3 + 1 * 504 * 4 + 1 * 420 * 1 + 0 * 360 * 1) mod 2520 x = 2520 mod 2520 x = 0

Таким образом, число, которое при делении на 3, 4, 5, 6 дает в остатке 1, а на 7 нацело, равно 0.