Question

АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. ОВ = 10, АО = 5. Чему равен угол АОС ?

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами касательных к окружности.

Пусть \( AB \) и \( BC \) - касательные, проведенные из точки \( B \) к окружности с центром \( O \). Тогда угол \( \angle AOB \) и угол \( \angle BOC \) являются прямыми углами, так как они образуются между радиусом и касательной в точке касания. Также, угол \( \angle AOB \) равен углу \( \angle BOC \), так как они оба равны 90 градусам.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \( AOB \), в котором известны катеты \( AO = 5 \) и \( BO = 10 \).

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти гипотенузу \( AB \):

\[ AB^2 = AO^2 + BO^2 \] \[ AB^2 = 5^2 + 10^2 \] \[ AB^2 = 25 + 100 \] \[ AB^2 = 125 \]

\[ AB = \sqrt{125} \] \[ AB = 5\sqrt{5} \]

Теперь мы можем использовать тангенс угла \( \angle AOB \):

\[ \tan(\angle AOB) = \frac{AO}{BO} \] \[ \tan(\angle AOB) = \frac{5}{10} \] \[ \tan(\angle AOB) = \frac{1}{2} \]

Теперь, чтобы найти угол \( \angle AOB \), мы можем воспользоваться арктангенсом:

\[ \angle AOB = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \]

Это значение можно вычислить с использованием калькулятора. В результате получится значение угла \( \angle AOB \).

Так как угол \( \angle AOB \) и угол \( \angle BOC \) равны, то угол \( \angle AOC \) равен удвоенному значению угла \( \angle AOB \). Таким образом:

\[ \angle AOC = 2 \cdot \angle AOB \]

Подставьте значение \( \angle AOB \) и решите это уравнение, чтобы найти угол \( \angle AOC \).