Question

Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной а

Answer 1

Площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной \(a\), можно найти с помощью формулы:

\[S = \frac{{\pi \cdot r^2}}{4}\]

где \(S\) - площадь круга, \(r\) - радиус круга.

В правильном треугольнике существует связь между радиусом вписанной окружности и стороной треугольника: радиус равен одной третьей высоты треугольника. В правильном треугольнике высота равна \(\frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot a\).

Таким образом, радиус круга:

\[r = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot a = \frac{{\sqrt{3}}}{6} \cdot a\]

Подставим значение радиуса в формулу для площади круга:

\[S = \frac{{\pi \cdot (\frac{{\sqrt{3}}}{6} \cdot a)^2}}{4} = \frac{{\pi \cdot 3a^2}}{72} = \frac{{\pi \cdot a^2}}{24}\]

Таким образом, площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной \(a\), равна \(\frac{{\pi \cdot a^2}}{24}\).