Question

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника равен 6, найти длину окружности, вписанной в этот треугольник.

Answer 1

Для решения этой задачи давайте воспользуемся свойствами описанных и вписанных окружностей в правильный треугольник.

1. Описанная окружность: В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника. Обозначим эту сторону за \(a\).

\[R = \frac{a}{2}\]

В данной задаче \(R = 6\), поэтому мы можем выразить длину стороны треугольника:

\[a = 2R = 2 \times 6 = 12\]

2. Вписанная окружность: Радиус вписанной окружности в правильный треугольник можно найти, используя формулу:

\[r = \frac{a}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)}\]

где \(\frac{\pi}{3}\) - это угол в радианах в правильном треугольнике. Так как у нас правильный треугольник, угол в каждой вершине равен \(60^\circ\), что в радианах равно \(\frac{\pi}{3}\).

Подставим значения:

\[r = \frac{12}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)}\]

\[r = \frac{12}{2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{12}{2 \sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\]

3. Длина окружности: Теперь, когда у нас есть радиус вписанной окружности (\(r\)), мы можем найти её длину по формуле:

\[C = 2\pi r\]

\[C = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3}\]

Таким образом, длина вписанной окружности в данном правильном треугольнике равна \(4\pi\sqrt{3}\).