Question

Найдите множество точек, удаленных от окружности x^2+y^2=16 на расстояние , равное 3. Решите , пожалуйста

Answer 1

Давайте решим задачу поиска точек, удаленных от окружности \(x^2 + y^2 = 16\) на расстояние, равное 3.

Уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 = r^2\), где \(r\) - радиус окружности. В данном случае \(r = 4\), так как \(16 = 4^2\).

Теперь нам нужно найти точки, удаленные от этой окружности на расстояние 3. Если \(P(x, y)\) - точка на окружности, а \(Q(x', y')\) - точка, удаленная от нее на расстояние \(d\), то расстояние между ними можно найти по формуле:

\[d = \sqrt{(x' - x)^2 + (y' - y)^2}\]

В данном случае \(d = 3\), и мы заменяем \(r\) на \(r + d = 7\) в уравнении окружности:

\[x^2 + y^2 = (r + d)^2\] \[x^2 + y^2 = 7^2\]

Теперь решим это уравнение. Преобразуем его к виду \(y = f(x)\) для удобства:

\[y^2 = 7^2 - x^2\] \[y = \pm \sqrt{7^2 - x^2}\]

Таким образом, у нас есть две функции:

\[y = \sqrt{7^2 - x^2}\] \[y = -\sqrt{7^2 - x^2}\]

Это задает две полуокружности. Точки на этих полуокружностях будут удалены от исходной окружности на расстояние 3.

Таким образом, множество точек, удаленных от окружности \(x^2 + y^2 = 16\) на расстояние 3, представляет собой две полуокружности:

\[y = \sqrt{7^2 - x^2}\] \[y = -\sqrt{7^2 - x^2}\]