Question

Боковая сторона равнобедренного тр-ка, основа которого на 1 см меньше боковой стороны, делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3: 2, считая от вершины, противоположной стороны. Найдите периметр данного тр-ка.

Answer 1

Пусть \( a \) - длина основания равнобедренного треугольника, \( b \) - длина боковой стороны, и \( r \) - радиус вписанной окружности.

Условие гласит, что основание треугольника на 1 см меньше боковой стороны, то есть \( a = b - 1 \).

Также, точка касания вписанной окружности делит боковую сторону в отношении 3:2. То есть, от вершины, противоположной этой стороне, до точки касания длина равна \( 3x \), а от точки касания до основания - \( 2x \).

Тогда, сумма длин боковой стороны и основания треугольника равна длине основания, умноженной на 3:

\[ b = 3x + 2x = 5x \]

Также, радиус вписанной окружности связан с полупериметром треугольника следующим образом:

\[ r = \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - b)}{p}} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника.

Полупериметр равен:

\[ p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{a + 2b}{2} \]

Теперь мы можем подставить \( a = b - 1 \) в формулу для полупериметра и далее в формулу для радиуса:

\[ p = \frac{(b - 1) + 2b}{2} = \frac{3b - 1}{2} \]

\[ r = \sqrt{\frac{\left(\frac{3b - 1}{2} - (b - 1)\right)\left(\frac{3b - 1}{2} - b\right)\left(\frac{3b - 1}{2} - b\right)}{\frac{3b - 1}{2}}} \]

Упростим выражение:

\[ r = \sqrt{\frac{(b + 1)(b - 1)(b - 1)}{3b - 1}} \]

Теперь мы знаем радиус вписанной окружности и можем выразить периметр треугольника:

\[ P = a + b + b = (b - 1) + b + b = 2b - 1 \]

Таким образом, периметр треугольника равен \( 2b - 1 \), где \( b \) определяется как решение уравнения \( b = 5x \), и \( x \) определяется радиусом вписанной окружности через уравнение \( r = \sqrt{\frac{(b + 1)(b - 1)(b - 1)}{3b - 1}} \).