Question

Высота равнобедренной трапеции,проведённая из вершины тупого угла и делящая большее основание на два отрезка,один из которых равен половине меньшего основания,равна 6см.Большее основание превосходит меньшее на 2см.Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Обозначим большее основание трапеции через \( b \), меньшее основание через \( a \) и высоту, проведенную из вершины тупого угла, через \( h \). Из условия задачи у нас есть следующие данные:

1. Высота трапеции \( h = 6 \) см. 2. Большее основание превосходит меньшее на 2 см: \( b = a + 2 \). 3. Один из отрезков, на которые высота делит большее основание, равен половине меньшего основания: \( a_1 = \frac{a}{2} \).

Так как высота трапеции проведена из вершины тупого угла, она делит трапецию на два прямоугольных треугольника. Теперь мы можем использовать эти данные, чтобы составить систему уравнений.

1. Уравнение высоты трапеции: \( h^2 = a_1 \cdot a_2 \), где \( a_2 \) - второй отрезок большего основания.

2. Уравнение для большего основания: \( b = a + 2 \).

3. Уравнение для отрезков большего основания: \( b = a_1 + a_2 \).

Подставим значения:

\[ \begin{align*} &6^2 = \frac{a}{2} \cdot a_2 \quad \text{(1)} \\ &a + 2 = b \quad \text{(2)} \\ &a_1 + a_2 = b \quad \text{(3)} \\ \end{align*} \]

Теперь решим систему уравнений.

Из уравнения (2) выразим \( a \) через \( b \):

\[ a = b - 2 \quad \text{(4)} \]

Подставим (4) в уравнение (1):

\[ 6^2 = \frac{b - 2}{2} \cdot a_2 \]

Упростим:

\[ 36 = \frac{b - 2}{2} \cdot a_2 \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 72 = (b - 2) \cdot a_2 \]

Теперь подставим \( a_1 = \frac{a}{2} \) в уравнение (3):

\[ \frac{a}{2} + a_2 = b \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ a + 2 \cdot a_2 = 2b \]

Теперь мы можем использовать уравнение (4) для выражения \( a \):

\[ (b - 2) + 2 \cdot a_2 = 2b \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ b - 2 + 2 \cdot a_2 = 2b \]

\[ 2 \cdot a_2 = b - 2 \]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение с высотой:

\[ 72 = (b - 2) \cdot \frac{b - 2}{2} \]

Раскроем скобки:

\[ 72 = \frac{(b - 2)^2}{2} \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 144 = (b - 2)^2 \]

Теперь найдем корень из обеих сторон:

\[ 12 = b - 2 \]

\[ b = 14 \]

Теперь, когда мы знаем \( b \), мы можем найти \( a \) с использованием уравнения (4):

\[ a = b - 2 = 14 - 2 = 12 \]

Теперь у нас есть значения \( a \) и \( b \), и мы можем найти площадь трапеции с помощью формулы:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h \]

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (12 + 14) \cdot 6 \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 6 \]

\[ S = 78 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь трапеции равна \( 78 \, \text{см}^2 \).