Question

В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой, третья с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

Answer 1

Давайте рассмотрим шестизначное число в общем виде: abcdef, где a, b, c, d, e, f - цифры.

Условие гласит, что первая цифра совпадает с четвертой (a = d), вторая с пятой (b = e), и третья с шестой (c = f).

Теперь давайте сформируем число, используя данное условие:

Число = abcdef = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f

Теперь подставим условия:

Число = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c = 100100a + 10010b + 1010c

Теперь давайте рассмотрим, является ли данное число кратным 7, 11 и 13.

Кратность 7:

Чтобы число было кратным 7, разность "удвоенной последней цифры" и "оставшейся части числа" должна быть кратна 7.

(1010c - 1001a) % 7 = 0

Кратность 11:

Чтобы число было кратным 11, разность "суммы четных цифр" и "суммы нечетных цифр" должна быть кратна 11.

(10010b - (1010c + 100100a)) % 11 = 0

Кратность 13:

Чтобы число было кратным 13, сумма "первых, четвертых и седьмых цифр", вычитаемая из "суммы оставшихся цифр", должна быть кратна 13.

(100000a + 10e + f - (10010b + 1010c)) % 13 = 0

Если все эти условия выполняются, то данное шестизначное число будет кратным 7, 11 и 13.