Question

Отрезок CD — высота треугольника ABC, причем ∠C = 90º, AD = 9 см и DB = 16 см. Найдите sin A и cos A.

Answer 1

Для решения этой задачи нам нужно найти значения синуса и косинуса угла \( A \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \), \( CD \) - высота треугольника, \( AD = 9 \) см и \( DB = 16 \) см.

Первым шагом найдем длину гипотенузы треугольника \( ABC \) с помощью теоремы Пифагора, так как у нас есть длины катетов \( AD \) и \( DB \):

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \] \[ AC^2 = 9^2 + CD^2 \] \[ AC^2 = 81 + CD^2 \]

\[ BC^2 = DB^2 + CD^2 \] \[ BC^2 = 16^2 + CD^2 \] \[ BC^2 = 256 + CD^2 \]

Так как \( AC \) и \( BC \) являются катетами, то:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \] \[ 81 + CD^2 + 256 + CD^2 = AB^2 \] \[ 337 + 2CD^2 = AB^2 \]

Теперь найдем \( AB \):

\[ AB = \sqrt{337 + 2CD^2} \] \[ AB = \sqrt{337 + 2 \cdot CD^2} \]

Так как \( CD \) - высота треугольника, \( AB \) - гипотенуза, то отношение сторон \( AD \) и \( AB \) будет равно синусу угла \( A \):

\[ \sin A = \frac{AD}{AB} \] \[ \sin A = \frac{9}{\sqrt{337 + 2 \cdot CD^2}} \]

Теперь найдем значение \( CD \) с использованием подобия треугольников \( ADC \) и \( BDC \):

\[ \frac{CD}{AD} = \frac{BC}{BD} \] \[ \frac{CD}{9} = \frac{BC}{16} \] \[ CD = \frac{9 \cdot BC}{16} \] \[ CD = \frac{9 \cdot 16}{16} = 9 \, \text{см} \]

Теперь подставим значение \( CD = 9 \) обратно в формулу для \( \sin A \):

\[ \sin A = \frac{9}{\sqrt{337 + 2 \cdot 9^2}} \] \[ \sin A = \frac{9}{\sqrt{337 + 162}} \] \[ \sin A = \frac{9}{\sqrt{499}} \] \[ \sin A = \frac{9}{\sqrt{499}} \times \frac{\sqrt{499}}{\sqrt{499}} \] \[ \sin A = \frac{9 \sqrt{499}}{499} \]

Теперь найдем косинус угла \( A \), используя тригонометрическое тождество \( \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} \):

\[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} \] \[ \cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{9 \sqrt{499}}{499}\right)^2} \] \[ \cos A = \sqrt{1 - \frac{81 \cdot 499}{499^2}} \] \[ \cos A = \sqrt{1 - \frac{40518}{249001}} \] \[ \cos A = \sqrt{\frac{208483}{249001}} \] \[ \cos A = \frac{\sqrt{208483}}{\sqrt{249001}} \] \[ \cos A = \frac{\sqrt{208483}}{499} \]

Таким образом, \( \sin A = \frac{9 \sqrt{499}}{499} \) и \( \cos A = \frac{\sqrt{208483}}{499} \).