Question

Даю 100 баллов В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90 градусов,биссектриса BM в 2 раза больше расстояния от точки M до прямой AB.Катет BC=17см. Найдите гипотенузу AB.

Answer 1

Давайте рассмотрим задачу.

Обозначим: - \( \angle C \) - прямой угол (90 градусов), - \( AB \) - гипотенуза, - \( BC \) - катет (дано, что \( BC = 17 \) см), - \( BM \) - биссектриса, - \( M \) - точка, где биссектриса пересекает гипотенузу.

По условию, известно, что биссектриса \( BM \) в 2 раза больше расстояния от точки \( M \) до прямой \( AB \). Обозначим расстояние от \( M \) до \( AB \) как \( x \). Тогда длина биссектрисы \( BM \) будет \( 2x \).

Имеем следующие равенства: 1. \( BM = 2x \), 2. \( MC = MB = x \), 3. \( BC = 17 \) (длина катета).

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \( BMC \):

\[ BC^2 = BM^2 + MC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 17^2 = (2x)^2 + x^2 \]

Решим уравнение:

\[ 289 = 4x^2 + x^2 \]

\[ 5x^2 = 289 \]

\[ x^2 = \frac{289}{5} \]

\[ x = \sqrt{\frac{289}{5}} \]

Теперь мы знаем \( x \), длину отрезка от точки \( M \) до прямой \( AB \). Так как биссектриса \( BM \) также равна \( 2x \), то:

\[ BM = 2 \cdot \sqrt{\frac{289}{5}} \]

Теперь мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику \( ABC \):

\[ AB^2 = BC^2 + BM^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AB^2 = 17^2 + \left(2 \cdot \sqrt{\frac{289}{5}}\right)^2 \]

\[ AB^2 = 289 + \frac{4 \cdot 289}{5} \]

\[ AB^2 = \frac{5 \cdot 289 + 4 \cdot 289}{5} \]

\[ AB^2 = \frac{9 \cdot 289}{5} \]

\[ AB = \sqrt{\frac{9 \cdot 289}{5}} \]

\[ AB = \frac{3 \cdot 17}{\sqrt{5}} \]

Таким образом, гипотенуза \( AB \) равна:

\[ AB = \frac{51}{\sqrt{5}} \]

Чтобы избавиться от знаменателя в знаке корня, умножим и делим на \(\sqrt{5}\):

\[ AB = \frac{51}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]

\[ AB = \frac{51 \cdot \sqrt{5}}{5} \]

\[ AB = \frac{51}{5} \cdot \sqrt{5} \]

Таким образом, гипотенуза \( AB \) равна \( \frac{51}{5} \cdot \sqrt{5} \) или приблизительно 22.80 см.

Надеюсь, это помогло!