Question

Докажите что линия x^2+8x+y^2-6x-24=0 является уравнением окружности. найдите расстояние от центра окружности до прямой,параллельной оси ординат и проходящей через точку с координатами (5;-6)

Answer 1

Для доказательства того, что уравнение линии x^2 + 8x + y^2 - 6x - 24 = 0 является уравнением окружности, нам необходимо привести уравнение к каноническому виду уравнения окружности и проверить его свойства.

Приведение уравнения к каноническому виду

Для начала, давайте приведем уравнение к каноническому виду (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Для этого выполним следующие шаги: 1. Сгруппируем слагаемые с x и слагаемые с y: (x^2 + 8x - 6x) + y^2 - 24 = 0 (x^2 + 2x) + (y^2) + (8x - 24) = 0 2. Завершим квадрат для слагаемых с x, добавляя и вычитая квадрат половины коэффициента при x: (x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2) + (8x - 24) = 0 (x^2 + 2x + 1) + (y^2) + (8x - 24) - 1 = 0 (x + 1)^2 + (y^2) + (8x - 24) - 1 = 0 (x + 1)^2 + (y^2) + 8x - 25 = 0 3. Завершим квадрат для слагаемых с y, добавляя и вычитая квадрат половины коэффициента при y: (x + 1)^2 + (y^2) + 8x - 25 + (y^2) - (y^2) = 0 (x + 1)^2 + (y^2 + (y^2)) + 8x - 25 = 0 (x + 1)^2 + 2(y^2) + 8x - 25 = 0 4. Перегруппируем слагаемые: (x + 1)^2 + 8x + 2(y^2) - 25 = 0 5. Разделим все слагаемые на -25, чтобы получить 1 на правой стороне: (x + 1)^2/25 + 8x/(-25) + 2(y^2)/(-25) = 1 (x + 1)^2/25 - 8x/25 - 2(y^2)/25 = 1

Свойства канонического вида уравнения окружности

Из канонического вида уравнения окружности (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 следует следующее: - Центр окружности находится в точке (a, b). - Радиус окружности равен r.

Сравнивая полученное уравнение (x + 1)^2/25 - 8x/25 - 2(y^2)/25 = 1 с каноническим видом уравнения окружности, мы видим, что: - Центр окружности находится в точке (-1, 0). - Радиус окружности равен sqrt(25) = 5.

Расстояние от центра окружности до прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку с координатами (5, -6)

Чтобы найти расстояние от центра окружности до данной прямой, мы можем использовать формулу расстояния от точки до прямой.

Формула для расстояния от точки (x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 выглядит следующим образом: d = |Ax1 + By1 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

В данном случае, уравнение прямой параллельной оси ординат, проходящей через точку (5, -6), имеет вид x = 5. То есть A = 1, B = 0 и C = -5.

Подставляя значения в формулу, мы получаем: d = |1*(-1) + 0*0 + (-5)| / sqrt(1^2 + 0^2) d = |-1 - 5| / sqrt(1) d = |-6| / 1 d = 6

Таким образом, расстояние от центра окружности до данной прямой составляет 6 единиц.