Question

В треугольнике ABC AC=BC,угол C=120(градусов),AC=25(корень из трех).Найти AB?

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся законами синусов. В треугольнике ABC закон синусов формулируется следующим образом:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), и \(C\) - противолежащие углы.

В вашем случае у нас есть:

\[AC = BC, \quad \angle C = 120^\circ, \quad AC = 25 \sqrt{3}.\]

Так как \(AC = BC\), то \(a = b\). Обозначим эту сторону как \(x\), тогда \(a = b = x\).

Теперь мы можем записать уравнение закона синусов для данного треугольника:

\[\frac{x}{\sin A} = \frac{x}{\sin B} = \frac{25 \sqrt{3}}{\sin 120^\circ}.\]

Так как \(\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ\), уравнение можно переписать следующим образом:

\[\frac{x}{\sin A} = \frac{x}{\sin B} = \frac{25 \sqrt{3}}{\sin 60^\circ}.\]

Теперь мы знаем, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), подставим это значение:

\[\frac{x}{\sin A} = \frac{x}{\sin B} = \frac{25 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.\]

Упростим уравнение:

\[\frac{x}{\sin A} = \frac{x}{\sin B} = 50.\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[x = 50 \sin A, \quad x = 50 \sin B.\]

Так как \(a = b = x\), то \(AC = BC = x = 50 \sin A = 50 \sin B\).

Теперь рассмотрим уравнение для угла C:

\[AC = 25 \sqrt{3} = 50 \sin C.\]

Так как \(\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), подставим это значение:

\[25 \sqrt{3} = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Упростим уравнение:

\[25 \sqrt{3} = 25 \sqrt{3}.\]

Таким образом, у нас есть подтверждение того, что \(x = AC = BC = 50 \sin C\).

Теперь, чтобы найти сторону AB, мы можем использовать тот факт, что в треугольнике сумма всех сторон равна нулю. Таким образом:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C.\]

Мы знаем, что \(AC = BC = 50 \sin C\) и \(\cos C = -\frac{1}{2}\) (так как угол C равен 120 градусам). Подставим эти значения:

\[AB^2 = (50 \sin C)^2 + (50 \sin C)^2 - 2 \cdot (50 \sin C) \cdot (50 \sin C) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right).\]

\[AB^2 = 2 \cdot (50 \sin C)^2 + 50^2 \cdot \sin^2 C.\]

Теперь подставим значение \(\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[AB^2 = 2 \cdot (50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 50^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2.\]

\[AB^2 = 2 \cdot 25^2 \cdot 3 + 50^2 \cdot \frac{3}{4}.\]

\[AB^2 = 2 \cdot 25^2 \cdot 3 + \frac{3}{4} \cdot 50^2.\]

\[AB^2 = 2 \cdot 25^2 \cdot 3 + 3 \cdot 25^2.\]

\[AB^2 = 75 \cdot 25^2.\]

\[AB = 5 \cdot 25.\]

\[AB = 125.\]

Таким образом, сторона AB треугольника ABC равна 125.