Question

точки А и B принадлежат прямой m. постройте точку, удалённую от прямой m на расстояние a и равноудалённую от точек А и В. сколько решений имеет задача?

Answer 1

Для построения точки, удовлетворяющей указанным условиям, давайте рассмотрим сначала, какие свойства имеет точка, удаленная от прямой на определенное расстояние и равноудаленная от двух заданных точек.

Пусть \(P\) - искомая точка. Расстояние от точки \(P\) до прямой \(m\) обозначим \(d\), а расстояние от \(P\) до точек \(A\) и \(B\) обозначим \(a\). При этом, по условию, точки \(A\) и \(B\) принадлежат прямой \(m\).

Так как точки \(A\) и \(B\) принадлежат прямой \(m\), то можно взять произвольную точку \(C\) на прямой \(m\) и рассмотреть треугольник \(ABC\). Так как точки \(A\) и \(B\) равноудалены от точки \(P\), то \(P\) находится на биссектрисе угла \(\angle ACB\). Также, так как точка \(P\) удалена от прямой \(m\) на расстояние \(d\), то она также лежит на перпендикуляре, опущенном из точки \(P\) на прямую \(m\).

Итак, у нас есть два условия для точки \(P\): она находится на биссектрисе угла \(\angle ACB\) и на перпендикуляре, опущенном из \(P\) на прямую \(m\). Теперь, чтобы удовлетворять также условию равноудаленности от точек \(A\) и \(B\), точка \(P\) должна лежать на серединном перпендикуляре между точками \(A\) и \(B\).

Таким образом, задача имеет ровно одно решение: точка \(P\) - это точка пересечения биссектрисы угла \(\angle ACB\) и серединного перпендикуляра между точками \(A\) и \(B\).