Question

Помогите пожалуйста плыыз!!! 1)разность оснований трапеции равна 6 см, её средняя линия равна 15см.Найдите основания трапеции 2)Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите,что расстояние между прямыми,содержащими основания, равно длине средней линии трапеции.

Answer 1

Давайте рассмотрим оба вопроса поочередно.

1) Найдем основания трапеции:

Обозначим длины оснований трапеции через \(a\) и \(b\). Разность оснований равна 6 см, что можно записать уравнением:

\[a - b = 6\]

Также известно, что средняя линия трапеции (медиана) равна 15 см. Медиана трапеции равна полусумме длин оснований:

\[ \text{Медиана} = \frac{a + b}{2} \]

Подставим известные значения:

\[ 15 = \frac{a + b}{2} \]

Решим это уравнение относительно \(a + b\):

\[ a + b = 30 \]

Теперь у нас есть две уравнения:

\[ \begin{cases} a - b = 6 \\ a + b = 30 \end{cases} \]

Сложим эти уравнения, чтобы избавиться от переменной \(b\):

\[ (a - b) + (a + b) = 6 + 30 \]

\[ 2a = 36 \]

\[ a = 18 \]

Теперь найдем \(b\), подставив \(a\) в любое из исходных уравнений, например, в первое:

\[ 18 - b = 6 \]

\[ b = 18 - 6 = 12 \]

Таким образом, основания трапеции равны 18 см и 12 см.

2) Докажем, что диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны и что расстояние между прямыми, содержащими основания, равно длине средней линии трапеции:

Пусть \(ABCD\) - трапеция, где \(AB\) и \(CD\) - основания, \(AD\) и \(BC\) - боковые стороны. Пусть \(P\) и \(Q\) - середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) соответственно.

Так как трапеция равнобедренная, то \(AD = BC\), и \(PQ\) - средняя линия трапеции.

Теперь, чтобы доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны, рассмотрим треугольники \(APQ\) и \(BPQ\). У этих треугольников общий угол при вершине \(P\), сторона \(PQ\) - общая, и стороны \(AP\) и \(BP\) равны, так как \(AD = BC\).

По теореме о равенстве треугольников углы при вершине \(Q\) равны, а углы при вершине \(A\) и \(B\) (которые лежат на диагоналях) в сумме равны 180 градусам.

Таким образом, диагонали \(AC\) и \(BD\) взаимно перпендикулярны.

Теперь докажем, что расстояние между прямыми, содержащими основания \(AB\) и \(CD\), равно длине средней линии \(PQ\).

В треугольнике \(APQ\), \(PQ\) - медиана, а медиана делит сторону треугольника пополам. Таким образом, отрезок \(PQ\) равен половине основания \(AB\).

Аналогично, в треугольнике \(BPQ\), отрезок \(PQ\) равен половине основания \(CD\).

Таким образом, расстояние между прямыми, содержащими основания \(AB\) и \(CD\), равно длине средней линии \(PQ\).