Question

Около окружности радиуса r описанна равнобедренная трапеция. Найдите площадь трапеции, если её острый угол равен а

Answer 1

Для решения задачи нам понадобится знание о свойствах равнобедренной трапеции.

В данной задаче имеется трапеция, описанная около окружности радиуса r. Такая трапеция имеет две параллельные стороны, которые являются основаниями трапеции, и две наклонные стороны, которые являются боковыми сторонами. Также известно, что острый угол трапеции равен а.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле: S = ((a+b)/2) * h, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

В данной задаче основаниями трапеции являются диаметры окружности радиуса r. Так как диаметр равен удвоенному радиусу, то a = 2r и b = 2r.

Высоту трапеции можно найти по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом окружности, биссектрисой острого угла трапеции и половиной основания трапеции. Тогда по теореме Пифагора получаем: h^2 = r^2 - (r/2)^2, h^2 = r^2 - r^2/4, h^2 = 3r^2/4, h = sqrt(3r^2/4), h = (sqrt(3)r)/2.

Подставляя найденные значения a, b и h в формулу для площади трапеции, получаем: S = ((2r + 2r)/2) * ((sqrt(3)r)/2), S = (4r/2) * ((sqrt(3)r)/2), S = 2r * (sqrt(3)r)/2, S = r * sqrt(3)r, S = sqrt(3)r^2.

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса r и имеющей острый угол a, равна sqrt(3)r^2.