Question

Решите неравенство( минус икс в квадрате плюс шесть икс минус пять меньше нуля)

Answer 1

Конечно, давайте решим это неравенство.

Имеем неравенство: \(-x^2 + 6x - 5 < 0\)

Чтобы решить это квадратное неравенство, давайте найдём его корни. Сначала перепишем неравенство в стандартной форме квадратного уравнения:

\[ -x^2 + 6x - 5 = 0 \]

Теперь найдём корни квадратного уравнения. Мы можем использовать квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) с коэффициентами \(a = -1\), \(b = 6\), и \(c = -5\). Мы можем использовать квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) с коэффициентами \(a = -1\), \(b = 6\) и \(c = -5\).

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4*(-1)*(-5)}}{2*(-1)} \]

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-2} \]

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{-2} \]

\[ x = \frac{-6 \pm 4}{-2} \]

Таким образом, получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{-6 + 4}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-6 - 4}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5 \]

Теперь, чтобы решить неравенство, мы используем полученные корни, чтобы определить интервалы, в которых неравенство выполняется.

Сначала нарисуем ось \(x\) и отметим на ней точки \(x = 1\) и \(x = 5\).

Теперь выберем тестовую точку в каждом из трёх интервалов, образованных корнями \(x = 1\) и \(x = 5\). Эти интервалы: \((-∞, 1)\), \((1, 5)\), и \((5, +∞)\).

Выберем, к примеру, \(x = 0\) для интервала \((-∞, 1)\), \(x = 3\) для интервала \((1, 5)\), и \(x = 6\) для интервала \((5, +∞)\).

Подставим эти значения \(x\) в исходное неравенство \( -x^2 + 6x - 5 < 0 \) и проверим их:

1. При \(x = 0\): \[ -(0)^2 + 6(0) - 5 < 0 \] \[ -5 < 0 \] - верно для интервала \((-∞, 1)\).

2. При \(x = 3\): \[ -(3)^2 + 6(3) - 5 < 0 \] \[ -9 + 18 - 5 < 0 \] \[ 4 < 0 \] - неверно для интервала \((1, 5)\).

3. При \(x = 6\): \[ -(6)^2 + 6(6) - 5 < 0 \] \[ -36 + 36 - 5 < 0 \] \[ -5 < 0 \] - верно для интервала \((5, +∞)\).

Итак, неравенство \( -x^2 + 6x - 5 < 0 \) выполняется для интервала \((-∞, 1)\) и \((5, +∞)\).