Question

В ромбе ABCD из вершины тупого угла B проведена высота BH к стороне AD. Она пересекает диагональ AC в точке M. Сторона ромба равна 15, а его площадь равна 135. Найдите площадь треугольника AMH.

Answer 1

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно. У нас есть ромб ABCD, в котором проведена высота BH из вершины тупого угла B к стороне AD. Предположим, что точка пересечения высоты и диагонали обозначена как M.

1. Известно, что сторона ромба равна 15. Так как у ромба все стороны равны, то AB = BC = CD = DA = 15.

2. Также известно, что площадь ромба равна 135. Формула для площади ромба S равна половине произведения его диагоналей:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \]

В ромбе AC и BD - это его диагонали, и так как они равны, можно записать:

\[ 135 = \frac{1}{2} \cdot AC^2 \]

Отсюда находим значение AC:

\[ AC^2 = 270 \]

\[ AC = \sqrt{270} = 3 \sqrt{30} \]

3. Теперь у нас есть сторона ромба (15) и длина диагонали AC ( \(3 \sqrt{30}\) ). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины другой диагонали BD:

\[ BD^2 = AC^2 + CD^2 \]

\[ BD^2 = (3 \sqrt{30})^2 + 15^2 \]

\[ BD^2 = 270 + 225 \]

\[ BD = \sqrt{495} = 3 \sqrt{55} \]

4. Так как точка M - это точка пересечения диагонали AC и высоты BH, длина AM равна половине длины AC:

\[ AM = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{30} \]

5. Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника \(S_{\triangle AMH}\), где H - это основание (BH), а AM - это высота:

\[ S_{\triangle AMH} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH \]

\[ S_{\triangle AMH} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{30} \cdot BH \]

6. Мы также можем использовать тот факт, что площадь ромба равна произведению его диагоналей, чтобы найти высоту BH:

\[ 135 = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot BD \]

\[ 270 = BH \cdot 3 \sqrt{55} \]

\[ BH = \frac{270}{3 \sqrt{55}} = \frac{90}{\sqrt{55}} \]

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для площади треугольника и упростить выражение.