Question

Помогите пожалуйста решить радиус окружности описанной около правильного треугольника равен 6 см. найдите радиус вписанной в треугольник окружности

Answer 1

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства описанных и вписанных окружностей в правильных треугольниках.

1. Описанная окружность: В правильном треугольнике, описанная окружность проходит через все вершины треугольника. Радиус описанной окружности равен половине длины любой стороны треугольника.

Пусть a - длина стороны правильного треугольника, тогда радиус описанной окружности (R) можно найти по формуле: \[ R = \frac{a}{2} \]

В вашем случае, если радиус описанной окружности равен 6 см, то сторона треугольника равна \( a = 2 \times R = 2 \times 6 = 12 \) см.

2. Вписанная окружность: В правильном треугольнике, вписанная окружность касается каждой стороны треугольника в её середине. Радиус вписанной окружности (r) можно найти, зная полупериметр треугольника (p).

Полупериметр треугольника равен половине суммы длин всех его сторон: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

Для правильного треугольника, где все стороны равны, формула упрощается: \[ p = \frac{3a}{2} \]

Радиус вписанной окружности выражается как: \[ r = \frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{n})} \]

В случае правильного треугольника \(n = 3\) (три угла), и тангенс угла в правильном треугольнике равен \(\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\).

Подставим значения: \[ r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \]

Таким образом, радиус вписанной окружности в вашем правильном треугольнике равен \(2\sqrt{3}\) см.