Question

равнобедренный треугольник, основание которого равно а, а угол при вершине альфа, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при основании перпендикулярно этой основи.Найдите объем вращения

Answer 1

Чтобы найти объем вращения равнобедренного треугольника, основание которого равно \(a\), а угол при вершине \(\alpha\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при основании перпендикулярно этой основе, нужно использовать метод вращения.

Обозначим вершину угла при основании как \(A\), а вершину угла при вершине как \(B\). Основание треугольника будет отрезком \(BC\), где \(BC = a\).

Сначала определим формулу для длины дуги, которую описывает вершина \(B\), вращаясь вокруг оси \(AB\). Длина дуги задается формулой длины окружности:

\[L = 2\pi r\]

где \(r\) - расстояние от центра вращения до точки на дуге. В данном случае \(r\) равно расстоянию от \(A\) до оси вращения, то есть \(AB\).

Теперь нам нужно определить, как изменяется угол \(\angle B\) при вращении. Поскольку угол \(\angle B\) вращается вокруг оси, его изменение можно связать с изменением длины дуги \(L\). Если угол \(\angle B\) равен \(\alpha\), то длина дуги будет равна \(\alpha r\).

Таким образом, мы можем написать:

\[L = \alpha r\]

Расстояние \(r\) можно выразить через сторону треугольника \(AB\) и угол \(\angle B\). Так как треугольник равнобедренный, то у нас есть два одинаковых треугольника \(ABC\) и \(ABD\), где \(D\) - середина стороны \(BC\).

Из треугольника \(ABC\) мы знаем, что \(\cos(\angle B) = \frac{BD}{AB}\), где \(BD\) - половина стороны \(BC\), то есть \(\frac{a}{2}\).

Теперь выразим \(r\) через \(AB\) и \(\cos(\angle B)\):

\[r = AB \cdot \cos(\angle B) = AB \cdot \cos(\alpha)\]

Теперь мы можем подставить это выражение для \(r\) в формулу длины дуги:

\[L = \alpha \cdot AB \cdot \cos(\alpha)\]

Теперь, чтобы найти объем вращения, мы можем использовать формулу объема вращения для фигуры вращения, полученной вращением дуги вокруг оси. Для этого мы интегрируем площадь круглого сечения, полученного вращением дуги, от \(0\) до \(L\):

\[V = \pi \int_{0}^{L} y^2 \,dx\]

где \(y\) - расстояние от оси вращения до точки на дуге. В данном случае \(y = AB \cdot \sin(\angle B)\).

Таким образом, объем вращения можно выразить как:

\[V = \pi \int_{0}^{L} (AB \cdot \sin(\angle B))^2 \,dx\]

Подставляем выражение для \(L\) и \(y\):

\[V = \pi \int_{0}^{\alpha \cdot AB \cdot \cos(\alpha)} (AB \cdot \sin(\alpha))^2 \,dx\]

Интегрируем по \(x\) и упрощаем выражение. Окончательная формула для объема вращения будет зависеть от угла \(\alpha\), стороны треугольника \(AB\) и константы \(\pi\).