Question

Внутри  куба  расположены  два  равных  шара,  касающихся  друга.  При  этом  один  шар  касается  трех  граней  куба,  имеющих  общую  вершину,  а  другой  касается  трех  оставшихся граней.  а)  Докажите,  что  центры  шаров  принадлежат  диагонали  куба,  исходящей  из  общей  для граней вершины.  б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

Answer 1

Диагональ куба 13√3
Шары равны. Оба касаются по 3 разных грани куба. 
Картинка симметрична относительно главной диагонали куба. 
Шары касаются друг друга в центре куба.
Центр каждого шара отстоит от конца диагонали на расстояние R√3 - так как касается каждой грани, и отстоит от каждой оси куба на R.

Главная диагональ куба складывается из 
13√3  = R√3 + R + R + R√3 

Откуда 
13√3= (2√3+2)R
R= 13√3/(2√3+2)=13√3(√3-1)/4