Question

В треугольнике ABC медиана BM перпендикулярна биссектрисе AD , AB=4 BM=2корня из 7. Найти длины биссектрисы AD и стороны BC.

Answer 1

Т.О- т. пересечения медианы ВМ и биссектрисы AD
1)тр.АОВ = трАОМ(прямоуг, общая сторона, угВАО=угОАМ)
АМ=МС=4
АС=8
2)трАВМ-равнобедренный, АО медиана => ВО=ОМ=корень7
3)из трАОВ АО =3(по теор пифагора)
4) cos(угВАО)=3/4, sin(угВАО)=корень7/4
cos(угВАС)= 9/16 - 7/16=1/8
ВС^2=AB^2 + AC^2 -2*AB*AC*cosBAC (по теор косин)
ВС^2=16+64-2*4*8*1/8
ВС=6корень2
5) АD- биссектриса, делящая BD/DC=AB/AC (по св-ву бис)
BD/DC=1/2, BD=1/3*BC=2 корень2
6) из трBDO OD=корень15(по теор пифагора)
AD=3+корень15
ответ: AD=3+кор15; BC=6кор2