Question

Через середину D стороны AB треугольника ABC проведено прямые, перпендикулярные к биссектрис углов ABC и ВАС. Эти прямые пересекают стороны АС и ВС в точках М и К соответственно. Докажите, что AM = BK.

Answer 1

Треугольники ВКD и АМD равнобедренные. 
По условию ВD=АD. 
Следовательно, боковые стороны этих треугольников равны, отсюда ВК=АМ. 

Answer 2

Для доказательства того, что \(AM = BK\), давайте рассмотрим треугольники \(AMB\) и \(BKC\).

У нас есть следующая информация:

1. Линии \(AD\) и \(BD\) являются биссектрисами углов \(ABC\) и \(BAC\) соответственно.

2. Прямые, проведенные через середину стороны \(D\) треугольника \(ABC\) и перпендикулярные к биссектрисам углов \(ABC\) и \(BAC\), пересекают стороны \(AC\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно.

Теперь обратим внимание на треугольники \(AMB\) и \(BKC\):

- Угол \(AMB\) равен углу \(BKC\), так как они оба перпендикулярны к биссектрисам.

- Угол \(ABM\) равен углу \(CBK\), так как они оба вертикальные углы, образованные параллельными прямыми \(AD\) и \(CD\).

Таким образом, по угловой части треугольников \(AMB\) и \(BKC\) мы можем сделать вывод, что эти треугольники подобны. Поскольку отношение сторон подобных треугольников равно отношению соответствующих высот, то

\[\frac{AM}{BK} = \frac{AB}{BC}.\]

Но мы также знаем, что \(AB = BC\) (так как это сторона треугольника \(ABC\)), поэтому \(\frac{AM}{BK} = 1\), что означает, что \(AM = BK\).

Таким образом, мы доказали, что \(AM = BK\).