Question

Докажите, что четырехугольник MNKP, заданный координатами своих вершин М (2; 2), N (5; 3), К (6; 6), Р (3; 5), является I ромбом и вычислите его площадь.

Answer 1

 

 Так как эти точки (перечислишь их) ∈MNKP,то

найдём МN=√(xN-xM)^2+(yN-yM)^2=√(5-2)^2+(3-2)^2=√9+1=√10

найдём NK=√(xK-xN)^2+(yK-yN)^2=√(6-5)^2+(6-3)^2=√1+9=√10

найдём KP=√(xP-xK)^2+(yP-yK)^2=√(3-6)^2+(5-6)^2=√3+8=√10

найдём PM=√(xM-xP)^2+(yM-yP)^2=√(2-3)^2+(2-5)^2=√1+9=√10

МN=NK=KP=PM=√10 ⇒ четырёхугольник ромб (по определению)

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник MNKP является ромбом, необходимо проверить выполнение следующих условий:

1. Все стороны ромба равны между собой. 2. Противоположные углы ромба равны между собой.

Проверка равенства сторон

Для этого вычислим длины всех сторон четырехугольника MNKP, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина стороны MN: ``` MN = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((5 - 2)^2 + (3 - 2)^2) = √(3^2 + 1^2) = √(9 + 1) = √10 ```

Длина стороны NK: ``` NK = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((6 - 5)^2 + (6 - 3)^2) = √(1^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10 ```

Длина стороны KP: ``` KP = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((3 - 6)^2 + (5 - 6)^2) = √((-3)^2 + (-1)^2) = √(9 + 1) = √10 ```

Длина стороны PM: ``` PM = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((2 - 3)^2 + (2 - 5)^2) = √((-1)^2 + (-3)^2) = √(1 + 9) = √10 ```

Как видно из вычислений, все стороны четырехугольника MNKP имеют одинаковую длину, равную √10. Таким образом, условие равенства сторон выполняется.

Проверка равенства углов

Для проверки равенства углов воспользуемся координатами вершин четырехугольника MNKP. Вычислим углы, образованные сторонами:

Угол M: ``` tan(∠M) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - 2) / (5 - 2) = 1 / 3 ```

Угол N: ``` tan(∠N) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 3) / (6 - 5) = 3 / 1 = 3 ```

Угол K: ``` tan(∠K) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 6) / (3 - 6) = (-1) / (-3) = 1 / 3 ```

Угол P: ``` tan(∠P) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - 5) / (2 - 3) = (-3) / (-1) = 3 ```

Как видно из вычислений, все углы четырехугольника MNKP равны между собой, и их тангенсы равны 1/3 и 3 соответственно. Таким образом, условие равенства углов также выполняется.

Вычисление площади

Площадь ромба можно вычислить, зная длину его диагоналей. В нашем случае, диагонали ромба равны длине стороны MNKP, поскольку все стороны ромба равны между собой.

Площадь ромба вычисляется по формуле: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба.

В нашем случае: ``` d1 = MN = √10 d2 = KP = √10 ```

Подставляя значения в формулу, получаем: ``` S = (√10 * √10) / 2 = (10) / 2 = 5 ```

Таким образом, площадь ромба MNKP равна 5.

Итак, мы доказали, что четырехугольник MNKP является ромбом, так как выполняются условия равенства сторон и углов. Площадь ромба MNKP равна 5.