Question

В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, точка пересечения высот H и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60° .

Answer 1

/>Условие, что O и H лежат на одной окружности с точками A и С, означает, что в этой окружности углы AOB и AHС - вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. То есть они равны.
Дальше все проще простого.
∠AOС = 2*∠ABC (это связь между центральным и вписанным углами, на этот раз - в окружности, описанной вокруг ABC).
∠HAC = 90° - ∠BCA; ∠HCA = 90° - ∠BAC; => ∠AHC = 180° - (90° - ∠BCA) - (90° - ∠BAC) = ∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠ABC;
То есть 2*∠ABC = 180° - ∠ABC;
∠ACB = 60°;
должно получится так

Answer 2

Чтобы доказать, что угол ABC равен 60° в остроугольном треугольнике ABC, где точки A, C, точка пересечения высот H и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности, мы можем использовать свойства остроугольных треугольников и центра вписанной окружности.

Для начала, давайте рассмотрим свойства остроугольных треугольников:

1. Сумма углов остроугольного треугольника равна 180°. 2. В остроугольном треугольнике острый угол находится напротив самой длинной стороны, а два других угла находятся напротив двух более коротких сторон.

Теперь, давайте обратимся к свойствам центра вписанной окружности:

3. Центр вписанной окружности остроугольного треугольника лежит на пересечении биссектрис треугольника. 4. Радиус вписанной окружности является перпендикуляром к стороне треугольника и проходит через точку касания окружности со стороной треугольника.

Используя эти свойства, мы можем провести следующее доказательство:

Доказательство:

1. Пусть O - центр вписанной окружности треугольника ABC. 2. Поскольку точка H - точка пересечения высот треугольника ABC, она лежит на ортоцентральной окружности треугольника ABC. 3. Также, по свойству центра вписанной окружности, центр O лежит на пересечении биссектрис треугольника. 4. Из этих двух фактов следует, что точки A, H, O и C лежат на одной окружности (ортоцентральной окружности). 5. Поскольку острый угол находится напротив самой длинной стороны, угол AHC является острым углом. 6. Также, угол AOC - это центральный угол, опирающийся на дугу AC. 7. Поскольку точки A, H, O и C лежат на одной окружности, угол AOC должен быть в два раза больше угла AHC. 8. Из пункта 5 известно, что угол AHC острый. 9. Поэтому, чтобы угол AOC был в два раза больше угла AHC и острый, угол AOC должен быть 120°. 10. Угол AOB (угол между сторонами AC и BC) также является центральным углом, опирающимся на дугу AC. 11. Поскольку угол AOC равен 120°, угол AOB (равный половине угла AOC) должен быть 60°. 12. Угол ABC является остроугольным треугольником и является острым углом находится напротив самой длинной стороны (стороны AC). 13. Таким образом, угол ABC равен 60°.

Таким образом, мы доказали, что угол ABC равен 60° в остроугольном треугольнике ABC, где точки A, C, точка пересечения высот H и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности.