Question

Длины двух сторон равны 3 и 6 найти третью сторону если половине суммы высот, проведенных к этим равна высоте, проведенной к третьей стороне

Answer 1

пусть неизвестная сторона =а, высоты соответственно к сторонам а,3 и 6 будут  Н,Н1 и Н2

через площадб имеем  а*Н=3*Н1=6*Н2    по условию Н=(Н1+Н2)/2

из 3*Н1=6*Н2      имеем  Н1=2Н2  значит Н=(2Н2+Н2)/2=3Н2/2

подставляем Н сюда

а*Н=6*Н2   и получаем  а=4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойством треугольника.

Обозначим длины сторон треугольника как a, b и c. В данном случае у нас есть две известные стороны: a = 3 и b = 6.

Также у нас есть условие, что половина суммы высот, проведенных к этим сторонам, равна высоте, проведенной к третьей стороне. Обозначим высоты как h1, h2 и h3 соответственно. Условие можно записать следующим образом:

\[\frac{1}{2}(h1 + h2) = h3\]

Теперь воспользуемся свойством треугольника, согласно которому высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника. Таким образом, мы можем записать отношение высот к сторонам:

\[\frac{h1}{a} = \frac{h2}{b} = \frac{h3}{c}\]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \[\frac{1}{2}(h1 + h2) = h3\] 2. \[\frac{h1}{a} = \frac{h2}{b} = \frac{h3}{c}\]

Из условия задачи мы знаем, что a = 3 и b = 6. Давайте найдем соответствующие значения h1, h2 и h3.

1. Из первого уравнения: \[\frac{1}{2}(h1 + h2) = h3\] Подставим значения h1 и h2, полученные из второго уравнения: \[\frac{1}{2}\left(\frac{h1}{3} + \frac{h2}{6}\right) = \frac{h3}{c}\] Умножим обе стороны на 6c: \[3(h1 + \frac{h2}{2}) = 6h3\] Упростим: \[6h1 + 3h2 = 12h3\] 2. Из второго уравнения: \[\frac{h1}{3} = \frac{h2}{6} = \frac{h3}{c}\] Умножим обе стороны на 3c: \[h1 = \frac{3h3}{2}\] Умножим обе стороны на 6c: \[3h2 = 6h3\]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \(6h1 + 3h2 = 12h3\) 2. \(3h2 = 6h3\)

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения h1, h2 и h3.

Сначала поделим оба уравнения на 3: 1. \(2h1 + h2 = 4h3\) 2. \(h2 = 2h3\)

Теперь подставим выражение для \(h2\) из второго уравнения в первое: \[2h1 + 2h3 = 4h3\]

Упростим: \[2h1 = 2h3\]

Теперь разделим оба уравнения на 2: 1. \(h1 = h3\) 2. \(h2 = 2h3\)

Таким образом, высоты \(h1\) и \(h3\) равны. Теперь мы можем воспользоваться свойством, что высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника, чтобы утверждать, что треугольник с равными высотами равнобедренный. Таким образом, c = 3.

Итак, третья сторона равна 3.