Question

Пожалуйста, помогите решить, и, желательно, с решением! Буду очень благодарна!Найти угол между плоскостью а: 3x+y+2z-6=0 и прямой, проходящей через начало координат и точку М(3,4,1). Вычислить расстояние от точки М до плоскости а.

Answer 1

Всё решаем по формулам.

Answer 2

Для нахождения угла между плоскостью и прямой, проходящей через начало координат и точку M(3,4,1), мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Найдем вектор нормали плоскости. Для этого возьмем коэффициенты при x, y и z в уравнении плоскости и сформируем вектор нормали. В данном случае, плоскость a: 3x + y + 2z - 6 = 0 имеет вектор нормали N(a) = (3, 1, 2).

2. Найдем вектор направления прямой, проходящей через начало координат и точку M(3,4,1). Для этого вычтем координаты начала координат (0, 0, 0) из координат точки M(3,4,1). Получим вектор направления прямой D = (3, 4, 1).

3. Используем формулу для нахождения угла между векторами: cos(θ) = (N(a)·D) / (|N(a)| * |D|), где N(a)·D - скалярное произведение векторов, |N(a)| и |D| - длины векторов.

4. Вычислим скалярное произведение N(a)·D, длину вектора N(a) и длину вектора D.

N(a)·D = 3 * 3 + 1 * 4 + 2 * 1 = 9 + 4 + 2 = 15 |N(a)| = √(3^2 + 1^2 + 2^2) = √(9 + 1 + 4) = √14 |D| = √(3^2 + 4^2 + 1^2) = √(9 + 16 + 1) = √26

5. Подставим значения в формулу для cos(θ): cos(θ) = 15 / (√14 * √26).

6. Найдем значение угла θ, используя обратную функцию cos: θ = arccos(15 / (√14 * √26)).

Здесь следует обратить внимание, что значение угла θ будет в радианах. Если вам нужно получить значение в градусах, просто умножьте радианы на (180 / π).

7. Чтобы вычислить расстояние от точки M до плоскости a, мы можем использовать формулу: d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2), где A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости, x, y, z - координаты точки M.

В данном случае, уравнение плоскости a: 3x + y + 2z - 6 = 0, поэтому A = 3, B = 1, C = 2 и D = -6. Координаты точки M = (3, 4, 1).

Подставим значения в формулу: d = |3*3 + 1*4 + 2*1 - 6| / √(3^2 + 1^2 + 2^2).

Вычислив значения, вы получите угол между плоскостью а и прямой, а также расстояние от точки M до плоскости a.