Question

Периметр пря­мо­уголь­ни­ка равен 30, а диа­го­наль равна 14. Най­ди­те пло­щадь этого прямоугольника.

Answer 1

P = 2*(a+b) = 30
a+b = 15
---
d = √(a²+b²) = 14
√(a²+b²) = 14
a²+b² = 14²
a = 15-b
(15-b)² + b² = 14²
225 - 30b + b² + b² = 196
2b² - 30² + 29 = 0
b₁ = (30 - √(30² - 4*2*29))/4 = 15/2 - √668/4 = 15/2 - √167/2
b₂ = (30 + √(30² - 4*2*29))/4 = 15/2 + √668/4 = 15/2 + √167/2
a₁ = 15 - b₁ = 15 - 15/2 + √167/2 = 15/2 + √167/2
a₂ = 15 - b₂ = 15 - 15/2 - √167/2 = 15/2 - √167/2
Решение одно, просто а и в переставлены местами
S = a*b = (15/2 + √167/2)*(15/2 - √167/2) = 1/4*(15 + √167)*(15 - √167) = 1/4*(15² - 167) = 1/4*(225 - 167) = 1/4*58 = 29/2

Answer 2

Пусть длина прямоугольника равна а, а ширина равна b.

Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника равен 30, то есть: 2*(a+b) = 30

Также известно, что диагональ равна 14. По теореме Пифагора, известно, что для прямоугольника выполняется: a^2 + b^2 = диагональ^2 a^2 + b^2 = 14^2 a^2 + b^2 = 196

Теперь у нас есть система уравнений: 2*(a+b) = 30 a^2 + b^2 = 196

Можно решить эту систему уравнений, заменив одну переменную во втором уравнении на выражение через другую переменную из первого уравнения. Для этого можно выразить a или b через (a+b)/2, подставив это выражение во второе уравнение.

Выберем, к примеру, а: a = (30 - 2b)/2 Подставляем во второе уравнение: ((30 - 2b)/2)^2 + b^2 = 196

Раскрываем скобки и решаем уравнение: (900 - 120b + 4b^2)/4 + b^2 = 196 900 - 120b + 4b^2 + 4b^2 = 784 8b^2 - 120b + 116 = 0

Решаем это квадратное уравнение: b^2 - 15b + 14.5 = 0

Применяем квадратное уравнение: b = (-(-15) ± √((-15)^2 - 4*1*14.5)) / (2*1) b = (15 ± √(225 - 58)) / 2 b = (15 ± √167) / 2

Таким образом, получаем два значения для b: b1 = (15 + √167) / 2 ≈ 10.58 b2 = (15 - √167) / 2 ≈ 4.42

Подставим найденные значения b в первое уравнение: a1 = (30 - 2*10.58) / 2 ≈ 4.21 a2 = (30 - 2*4.42) / 2 ≈ 10.79

Таким образом, у нас получаются два набора значений для сторон прямоугольника: a1 ≈ 4.21, b1 ≈ 10.58 или a2 ≈ 10.79, b2 ≈ 4.42

Чтобы найти площадь прямоугольника, умножаем длину на ширину: S1 = a1 * b1 ≈ 4.21 * 10.58 ≈ 44.54 S2 = a2 * b2 ≈ 10.79 * 4.42 ≈ 47.64

Таким образом, есть два возможных значения площади прямоугольника: S1 ≈ 44.54 или S2 ≈ 47.64.