Question

ABCD -трапеция, точка О - точка пересечения ее диагоналей, равноудалена от боковых сторон AB и CD. Докажите, что трапеция равнобедренная

Answer 1

Докажем, что треугольники ABO и CDO равновелики (имеют равную площадь). Действительно, треугольники ABD и ACD равновелики, так как у них общее основание AD, а высоты, проведённые к этому основанию из точек B и D равны (расстояние от точки B до прямой AD равно расстоянию от точки C до прямой AD). Площадь треугольника ABO равна разности площадей ABD-AOD, а площадь треугольника CDO равна разности площадей ACD-AOD. Так как S(ABD)=S(ACD), треугольники ABO и CDO равновелики. Так как точка O равноудалена от сторон AB и CD, высоты OE и OF равны, так как OE - расстояние от O до AB, OF - расстояние от O до CD. Обозначим площадь треугольников ABO и CDO за S, тогда S=1/2*AB*OE=1/2*CD*OF. Из равенства OE=OF следует равенство AB=CD. Значит, трапеция равнобедренная, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для начала давайте вспомним определение равнобедренной трапеции. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны (боковые основания) имеют одинаковую длину, а её диагонали имеют одинаковую длину.

Обозначим боковые стороны трапеции как AB и CD, а точку пересечения её диагоналей как O. Теперь давайте рассмотрим следующие отрезки:

1. OA - отрезок от точки O до вершины A. 2. OB - отрезок от точки O до вершины B. 3. OC - отрезок от точки O до вершины C. 4. OD - отрезок от точки O до вершины D.

Из условия задачи известно, что точка O равноудалена от боковых сторон AB и CD. Это означает, что отрезки OA и OD равны по длине, а также отрезки OB и OC равны по длине. Обозначим длину этих отрезков как r.

Теперь докажем, что боковые стороны трапеции равны. Рассмотрим треугольники OAB и OCD. У нас есть:

1. OA = OD (по условию задачи). 2. OB = OC (по условию задачи). 3. AB = CD (боковые стороны трапеции).

Теперь, по теореме об угле между равными сторонами треугольника, угол AOB равен углу COD. Также угол OAB равен углу OCD (вертикальные углы).

Теперь у нас есть два равных треугольника (OAB и OCD), у которых одна сторона и два угла равны. Следовательно, по теореме о равенстве треугольников, эти треугольники равны в целом. Это означает, что у них равны соответствующие стороны, включая AB и CD.

Таким образом, мы доказали, что боковые стороны трапеции равны, и по определению трапеции она является равнобедренной.