Question

Внутри правильного треугольника со стороной 1 помещены две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника (каждая сторона треугольника касается хотя бы одной окружности). Доказать, что сумма радиусов этих окружностей не меньше, чем (√3- 1)/2.

Answer 1

В треуг.АВС проведем высоту ВК к основанию АС.

ВК - высота,биссектриса и медиана,делит треуг.АВС на 2 равных прямоугольных треугольника АВК и КВС

В треуг.АВК  АВ=1 - гипотенуза

АК=1:2=0,5 - катет

ВК2=АВ2-АК2 - катет

ВК=корень из 1*1-0,5*0,5=0,87

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

r=(р-а)(р-b)(p-c)/p

r=ab/(a+b+c)

r=(a+b-c)/2

r=(0,5+0,87-1)/2

r=0,185

2r=0,185*2=0,37

(корень из 3 - 1)/2= 0,37

0,37=0,37

Ответ:сумма радиусов не меньше,чем 0,37

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами треугольника и окружности.

Обозначим треугольник ABC, где AB = BC = AC = 1. Опишем этот треугольник окружность O1 с радиусом r1, которая касается сторон AB и AC, и окружность O2 с радиусом r2, которая касается сторон AB и BC.

Пусть точка касания окружности O1 со стороной AB имеет координаты (0, 0), а точка касания окружности O2 со стороной AB имеет координаты (x, 0). Также пусть точка касания окружности O1 со стороной AC имеет координаты (a, b), а точка касания окружности O2 со стороной BC имеет координаты (c, d).

Из свойств треугольника и окружности можно получить следующие уравнения: 1) a^2 + b^2 = r1^2 ---(1) 2) c^2 + d^2 = r2^2 ---(2) 3) (a - 1)^2 + b^2 = r1^2 ---(3) 4) (c - x)^2 + d^2 = r2^2 ---(4)

Из (1) и (3) можно получить следующее: a^2 + b^2 - (a - 1)^2 - b^2 = r1^2 - r1^2, 1 - 2a = 0, a = 1/2.

Из (2) и (4) можно получить следующее: c^2 + d^2 - (c - x)^2 - d^2 = r2^2 - r2^2, 2x - 2c = 0, x = c.

Таким образом, мы получили, что точка касания окружности O2 со стороной AB имеет координаты (c, 0), и треугольник ABC является равнобедренным треугольником со стороной BC.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC со стороной BC = 1. Обозначим точку касания окружности O2 со стороной BC через P. Из свойств равнобедренного треугольника можно получить следующее: BP = PC = BC/2 = 1/2.

Теперь рассмотрим окружность O2 радиусом r2, которая касается сторон AB и BC и центром в точке P. По построению, точка касания окружности O2 со стороной AC лежит в точке (1/2, h), где h - высота треугольника ABC, проведенная к основанию BC.

Отметим, что радиус окружности O2 является суммой отрезков BP и PC, т.е. равен 1/2.

Теперь докажем, что h >= (√3- 1)/2. Проведем высоту треугольника ABC, которая разбивает треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABH и BCH. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAH = 30 градусов. Также по свойствам треугольника ABC, отношение высоты h к стороне BC равно sin(30) = 1/2. Таким образом, h = BC * sin(30) = √3/2.

Теперь докажем, что √3/2 >= (√3- 1)/2: √3/2 - 1/2 >= (√3- 1)/2, √3 - 1 >= √3 - 1, 0 >= 0.

Таким образом, получаем, что h >= (√3- 1)/2.

Так как радиус окружности O2 равен 1/2, а h >= (√3- 1)/2, то сумма радиусов окружностей r1 и r2 не меньше, чем 1/2 + (√3- 1)/2 = (√3- 1)/2.

Таким образом, мы доказали, что сумма радиусов окружностей не меньше, чем (√3- 1)/2.