Question

Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Определите углы ромба.

Answer 1

ПУсть дан ромб ABCD и AB=AC
Стороны ромба равны (из определения ромба) AB=BC=CD=AD
Поєтому AB=BC=AC
Значит треугольник АВС равносторонний(правильный) (по определению равностороннего треугольника)
 
Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусов, поэтому угол В равен 60 градусов (острый угол ромба)
 
Отсюда тупой угол ромба угол А=180 градусов - угол В=180 градусов-60 градусов=120 градусов
ответ: 120 градусов

Answer 2

Пусть сторона ромба равна a, а диагональ равна d.

В ромбе две диагонали, которые делят его на четыре равных треугольника. Поскольку одна из диагоналей равна стороне ромба, то каждый из этих треугольников будет равнобедренным.

Рассмотрим один из таких треугольников. Пусть его основание равно a (стороне ромба), а его боковая сторона равна d (диагонали ромба).

Так как треугольник равнобедренный, то его две боковые стороны равны между собой. Значит, длина каждой из этих сторон равна (d-a)/2.

Используя теорему косинусов для треугольника, можно найти угол α между стороной a и диагональю d:

cos(α) = (a^2 + (d-a)^2 - (d/2)^2) / (2 * a * (d-a))

Учитывая, что одна из диагоналей равна стороне ромба, то диагональ d равна 2a:

cos(α) = (a^2 + (2a-a)^2 - (2a/2)^2) / (2 * a * (2a-a))

cos(α) = (a^2 + a^2 - a