Question

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 см и 5 см. Найти площадь треугольника.

Answer 1

18 см это площадь всеготреуголника

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом:

- Пусть \( a \) и \( b \) будут катетами (сторонами, прилегающими к прямому углу). - Пусть \( c \) будет гипотенузой треугольника.

Также, пусть биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 см и 5 см. Обозначим эти отрезки через \( p \) и \( q \). Таким образом, имеем \( p = 4 \) см и \( q = 5 \) см.

Теперь мы знаем, что биссектриса делит противоположный катет в отношении, равном отношению длин катетов. То есть:

\[ \frac{p}{q} = \frac{b}{a} \]

Так как \( p = 4 \) см и \( q = 5 \) см, мы можем записать:

\[ \frac{4}{5} = \frac{b}{a} \]

Отсюда можно выразить \( b \) через \( a \):

\[ b = \frac{4}{5} \cdot a \]

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим выражение для \( b \):

\[ c^2 = a^2 + \left(\frac{4}{5} \cdot a\right)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ c^2 = a^2 + \frac{16}{25} \cdot a^2 \]

Сложим дроби:

\[ c^2 = \frac{25a^2 + 16a^2}{25} \]

Упростим числитель:

\[ c^2 = \frac{41a^2}{25} \]

Теперь выразим \( a \) через \( c \):

\[ a^2 = \frac{25c^2}{41} \]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, используем формулу:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Подставим выражение для \( b \):

\[ S = \frac{1}{2}a \cdot \frac{4}{5} \cdot a \]

Упростим:

\[ S = \frac{2a^2}{5} \]

Теперь подставим выражение для \( a^2 \):

\[ S = \frac{2}{5} \cdot \frac{25c^2}{41} \]

Упростим:

\[ S = \frac{10c^2}{41} \]

Итак, получили выражение для площади треугольника через длину гипотенузы \( c \):

\[ S = \frac{10c^2}{41} \]

Таким образом, площадь треугольника зависит от квадрата длины гипотенузы и равна \(\frac{10c^2}{41}\).